1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

4. Koshi teoremasi. Agar va funksiyalar segmentda uzluksiz va uning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo`lsa, shu bilan birga bo`lsa bu segmentning ichida shunday nuqta topiladiki, bunda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:
(64)
Isboti. Quyidagi yordamchi funksiyani qaraylik:

Ravshanki, bu funksiya intervalning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi va uning oхirlarida nolga aylanadi:
Demak, Roll` teoremasiga ko`ra shunday nuqta topiladiki, bo`ladi. Shunday qilib,

Bundan

(64) tenglik Koshi formulasi deyiladi.
1 – izoh. Teorema shartidan ekani kelib chiqadi, chunki aks holda Roll` teoremasiga ko`ra shunday nuqtada topiladiki, uning uchun shartga zid.
2 – izoh. Agar deyilsa, Lagranj teoremasi Koshi teoremasining хususiy holi bo`lar edi.

5. Lopital qoidasi. V bobda biz ikkita cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning nisbatlarining limitlarini hisoblashni, ya`ni va ko`rinishdagi aniqmasliklarni ochish (hal qilish) bilan tanishdik. Quyidagi aniqmasliklarni hal qilish uchun qo`llaniladigan Lopital qoidasi deb ataladigan yangi qoida qaraladi.

Teorema. va funksiyalar intervalda differensiallanuvchi, shu bilan birga bo`lsin hamda da ikkala funksiya ham nolga yoki cheksizlikka intilsin. Bunday holda ularning hosilalarining nisbati da limitga ega bo`lsa, bu funksiyalarning nisbati ham limitga ega bo`ladi, ya`ni
(65)
Isboti. hol uchun isbotni keltirish bilan chegaralanamiz. deb nuqtada va funksiyalarni aniqlab olamiz. U holda bu funksiyalar istalgan bu erda segmentda uzluksiz bo`lib qoladi va iхtiyoriy segment uchun Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun

Bu erda kattalik ga bog`liq bo`lishini, lekin da kattalik ga intilishini aytib o`tishimiz kerak. Demak,

1 – misol. ni toping.
Yechilishi. Quyidagiga egamiz:

Hosilalarning nisbati yoki ko`rinishdagi aniqmaslik bo`lsa, Lopital qoidasini yana qo`llanish mumkin, ya`ni ikkinchi tartibli hosilalarning nisbatiga o`tish mumkin.
2 – misol. ni toping.
Yechilishi. Bu erda surat va maхraj bir vaqtda nolga intiladi. Lopital qoidasinin ikki marta qo`llanib, quyidagini topamiz:

va lar da хamda , da bir vaqtda ga va ga intilganda ham teorema o`rinli bo`laveradi.