1 Funktsiyaning differentsiali

5. Lopital teoremasi
5-teorema 
nuqtaning biror atrofida  va  funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va  bo‘lsin.Agar  va  bo‘lib, 
(chekli yoki cheksiz) limit mavjud bo‘lsa, u holda 
(5.9)
bo‘ladi.
1-teorema  ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish imkonini beradi.  ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
6-teorema 
nuqtaning biror atrofida  va  funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va bo‘lsin. Agar bo‘lib, 
limit mavjud bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Misol
limitni topamiz.

.
va ko‘rinishdagi aniqmasliklarga asosiy aniqmasliklar deyiladi. 
yoki  ko‘rinishdagi aniqmasliklar algebraik almashtirishlar yordamida asosiy aniqmasliklarga keltiriladi. yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklardan formula yordamida asosiy aniqmasliklar
hosil qilinadi. Hosil qilingan asosiy aniqmasliklar yuqorida keltirilgan teoremalar
yordamida ochiladi.
Misollar
1.  .
2. 


3. 

4.
1.
5.


3. Teylor teoremasi
7-teorema (Teylor teoremasi).  funksiya  nuqtaning biror atrofuda aniqlangan bo‘lib, bu atrofda  tartibligacha hosilalarga ega va hosila  nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda

(5.11)
bo‘ladi, bunda 
(5.11) tenglikka Teylor formulasi deyiladi.
ga
n-tartibli Teylor ko‘phadi ,  ga Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi deyiladi^[2]. 
da Teylor formulasidan yoki tenglik, ya’ni Lagranj formulasi kelib chiqadi. Demak, Lagranj formulasi Teylor formulasining hususiy holi bo‘ladi.
Misol
ko‘phadni  ikkihadning butun musbat darajalari bo‘yicha yoyamiz. Buning uchun funksiyaning hosilalarini topamiz:

( uchun,  ).
Ko‘phad va uning hosilalarining  dagi qiymatlarini topamiz:

U holda


da Teylor formulasining xususiy hollaridan yana biri

hosil bo‘ladi. Bu formulaga Maklorei formulasi deyiladi.
Ayrim funksiyalarning Makloren formulasiga yoyilmasini keltiramiz:
1. , ;




Xususan,  da
.
Formulalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz.
1.  bo’lsin. U holda

Makloren formulasi quyidagi ko‘rinishga keladi:

.
2.  bo‘lsin. 
U holda

Bundan

4. bo‘lsin.
Bundan


U holda

Teylor formulasi funksiyalar qiymatlarini va limitlarni berilgan aniqlikda hisoblashda qo‘llaniladi. Masalan, funksiyaning nuqtadagi qiymatini xatoligi  dan katta bo‘lmagan aniqlikda hisoblash uchun Teylor ko‘phadini shunday darajasigacha olinadiki, bunda son

tengsizlikni qanoatilaniradigan  larning eng kichigi qilib tanlanadi.
Misol.
sonini  aniqlikda hisoblaymiz. Shartga ko‘ra  . Makloren formulasiga binoan

ning  shartni qanoatlantiruvchi eng kichik qiymati  , bunda  . 
Demak,


Misol
limitni topamiz:

Ferma teoremasining bir iqtisodiy talqinini keltiramiz. Ishlab chiqarish nazariyasining asosiy qonunlaridan biri quyidagicha ifodalanadi: ishlab chiqarishda mahsulotning optimal (maqsadga muvofiq, eng qulay) hajmi limitik xarajat MS va limitik daromad MD tengligi bilan aniqlanadi. Demak, mahsulotning xo optimal hajmi MS(xo)=MD(xo) tenglamadan topiladi. Bu tasdiq bevosita Ferma teoremasidan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, korxonaning x hajmdagi mahsulot ishlab chiqarishdagi xarajatlari S(x), daromadi D(x) bo'lsa, unda uning olgan foydasi F(x)=D(x)-S(x) funksiya bilan aniqlanadi.Bu holda mahsulotning optimal hajmi xo foyda F(x) maksimal bo'ladigan nuqta kabi aniqlanadi. Buning uchun, Ferma teoremasiga asosan,

F'( xo)=0 => D'(xo)-S'(xo)=0 => D'(xo)=S'(xo) => MS(xo)=MD(xo) tenglik, ya'ni yuqorida keltirilgan iqtisodiy qonun bajarilishi kerak. 1-Misol. f(x) =sinx funksiya xo=n/2 nuqtada lokal maksimumga ega va bu nuqtada uning hosilasi f (n/2)=cos (n/2)=0 tenglikni qanoatlantiradi.
Roll teoremasi. Agar f (x)
funksiya t0' b]kesmada uzluksiz bo'lib, shu kesmaing
barcha ichki nuqtalarda differsiallanuvchi va f (a)=f (b)=0 bo'lsa, u holda (a' b) oraliqda hech bo'lmaganda bitta x=c nuqta mavjudki bu nuqtada funksiya hosilasi
nolga aylanadi, ya'ni f (c)= 0.
Roll teoremasi hosilaning nollari yoki ildizlari haqidagi teorema ham deyiladi.
Isboti. f (x)funksiya k b\ kesmada uzluksiz bo'lgani uchun shu kesmada eng katta qiymati m ga erishadi.
1-hol. M = m bo'lsa ta' b kesmada f (x)o'zgarmas bo'ladi. Bundan f (c)=0 kelib chiqadi (a < x < b)
2-hol. M*m bo'lsa, soddalik uchun M >0deb faraz qilsak, k b kesmada f (x)
funksiya uzluksiz bo'lgani uchun f (c) (a Kc Kb) bo'ladi. Bundan
f (c)= im f (c + Ax)- f (c) = im f (c + Ax)-M < 0
A x ^0+0 AX A x^0+0 AX ^
r,i \ ,• f (c + Ax)- f (c) f (c + Ax)-M f ' (c )= lim ^-' J w = lim ^--> 0
A x ^0-0 AX A x^0-0 AX Ç2)
(1) va (2) tengliklarni taqqoslab, f (c)=0 ni hosil qilamiz. Teorema isbot qilindi.
2-Misol. f (x)=sinx funksiya M kesmada uzluksiz, t0,n\ oraliqda
differensiallanuvchif (0)=sin 0 = 0 f sin n= 0- Roll teoremasining barcha shartlari bajariladi.
f' (x)=cosx=0^x = t/2>demak 03-Misol. [1; 5]kesmada /(x) = x2 — 6x + 100 funksiya uchun Roll teoremasi o'rinlimi? x ning qanday qiymatida /'(x) = 0 bo'ladi.
Yechish. /(x) funksiya x ning barcha qiymatlarida uzluksiz, differensiallanuvchi va uning [1; 5]kesma oxirlaridagi qiymatlari teng, ya'ni /(1) = 12 — 6 • 1 + 100 = 1 — 6 + 100 = 95 /(5) = 52 — 6 • 5 + 100 = 25 — 30 + 100 = 95 Demak, /(1) = /(5) = 95 bo'lgani uchun Roll teoremasi shartlari bajariladi. x ning /'(x) = 0 bo'ladigan qiymati /'(x) = 2x — 6 = 0 tenglamadan aniqlanadi, ya'ni x = 3 bo'ladi.
Lagranj teoremasi. Agar /(x) funksiya uchun [a; fr]kesmada uzluksiz bo'lib, (a, fr) oraliqda hech bo'lmaganda bitta x = c nuqta topiladiki, (a < x < fr) bu nuqtada /(fr) — /(a) = /'(c)(fr — a) tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu teorema chekli ayirmalar haqidagi teorema ham deyiladi.
Isbot. F(x) = /(x) — /(a) — ^(a) (x — a) yordamchi funksiyani tuzamiz.
fe—a.
Bunda F(a) = 0, F(fr) = 0 bo'lib, F(x) funksiya [a; fr]kesmada uzluksiz va (a, fr) oraliqda differensiallanuvchi bo'ladi. Demak, F(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bunda F'(c) = 0 (a < x < fr) kelib chiqadi. Lekin
F'(c) = /'(c) = /(*)—^(a) = 0 bo'lgani uchun
/(fr) — /(a) = /'(c)(fr — a) bo'ladi va teorema isbot bo'ldi.
4-Misol. /(x) = x3 + 3x + 5 funksiya [—1; 1]kesmada uzluksiz va uning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchidir.
/(1) = 13+ 3^1 + 5 = 9 /(—1) = (—1)3 + 3 • (—1) + 5 = 1 /(!) — /(—!) = 9 — 1 = 8 1 — (—1) 2 2 /'(x) = 3x2 + 3 = 4 dan 3x2 = 1,x2 = 1,xx = ^,x2 = — ^.
Demak,^ = /.(±¿). ±¿6 (-1;1).
1-(-1)
5-Misol. /(x) = //(x — 8)2 funksiya uchun [0; 10]kesmada Lagranj teoremasi o'rinlimi?
Yechish. /(x) funksiya x ning barcha qiymatlarida uzluksiz, ammo uning
2
/'(x) = hosilasi (0;10) oraliqning x = 8 nuqtasida mavjud emas, shunga
ko'ra Lagranj teoremasi o'rinli emas.
Koshi teoremasi. Agar /(x)ra ^(x) funksiyalar [a; fr]kesmada uzluksiz bo'lib, ( a, fr) oraliqda differensiallanuvchi bo'lsa, bundan tashqari (a, fr) oraliqning barcha
nuqtalarida ^'(x) ^ 0 bo'lsa, u holda shunday x = c (a < x < b) nuqta topiladiki,
bu nuqtada /(b)-/(a) = ^^ tenglik o'rinli bo'ladi.
6-Misol. /(x) = x3 + 8,^(x) = x3 + x + 1 funksiyalar [-1; 2]kesmada uzluksiz bo'lib va uning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchi.
/(2)-/(-l) 8+8-(-l)3-8 9 9 3
a = -1, b = 2 da
,(2)-,(-l) 8+2 + 1-[(-1)3-1 + 1] ll + l 12 4
/'(x) = 3x2,^'(x) = 3x2 + 1 ^ 0,x = 1 nuqtada^^ = = 3 .
Bundan, /(2)-/((-l) = ^t-^ ; -1 < 1 < 2 bo'ladi. ,(2)-,(-l) ,'(-1)
Demak, Koshi teoremasi o'rinli.
x2
7-Misol. Ushbu /(x) = ex,^(x) = funksiyalar [-3; 3]segmentda Koshi
teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. Berilgan ikkala funksiyalar [-3; 3]segmentda uzluksiz, (-3,3) da
/'(x) = gx ,^'(x) = hosilalarga ega bo'lamiz. Biroq, ^'(0) = 0.
Demak, /(x) va ^(x) funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirmaydi.

3.Funksiyaning o’sishi va kamayishi. Funksiyaning ekstremumlari

Teorema. Differensiyallanuvchi funksiya biror oraliqda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, u holda bu oraliqda uning hosilasi shartni qanoatlantiradi.
Teorema. Agar differensiyallanuvchi funksiyaning hosilasi biror oraliqda shartni qanoatlantirsa,
unda bu oraliqda funksiya o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi.
Teoremaning birinchi qismi oraliq funksiyaning monotonlik oralig’i bo’lishining zaruriy, ikkinchi qismi esa yetarli shartini ifodalaydi.
Teorema. Berilgan funksiya nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo’lib, bu atrofdagi ixtiyoriy x nuqta uchun shartni qanoatlantirsa, u shu nuqtada maksimumga (minimumga) ega deb ataladi.
Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari uning ekstremumlari deyiladi.
Teorema. Ferma teoremasi. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi va ekstremumga ega bo’lsa, unda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga aylanadi. Ya’ni, bo’ladi.
Funksiya ekstremumga ega bo’lgan nuqtada uning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo’lmaydi.
Teorema. Funksiya hosilasini nolga teng qiladigan yoki mavjud qilmaydigan nuqtalar kritik yoki statsionar nuqtalar deyiladi.
Teorema. (Ekstremumning birinchi yetarli sharti). Agar funksiya kritik nuqtaning biror atrofida differensiyallanuvchi bo’lib, bu kritik nuqtani chapdan o’ngga qarab bosib o’tishda hosila o’z ishorasini musbatdan manfiyga (manfiydan musbatga) o’zgartirsa, unda kritik nuqtada funksiya maksimumiga (minimumiga) ega bo’ladi.
Teorema. Agar funksiyaning hosilasi kritik nuqtaning chap va o’ng atrofida ishorasini o’zgartirmasa, unda bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.
Teorema. (Ekstremumning ikkinchi yetarli sharti). Agar kritik nuqtada , va chekli bo’lsa, unda bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo’ladi. Jumladan, bo’lsa, funksiyaning maksimumi (minimumi) bo’ladi.