1. Гидромеханик жараёнлар Мувозанат ҳолатининг дифференциал тенгламаси

Мувозанат ҳолатининг дифференциал тенгламаси

Бирор идишда тинч турган суюқликка оғирлик ва босим кучлари таъсир қилади. Бу кучларнинг ўзаро таъсирининг суюқлик ичида тақсимланиши Эйлер томонидан ишлаб чиқарилган дифференциал тенглама билан ифодаланади. Ушбу тенгламани келтириб чиқариш учун идишдаги суюқлик ҳажмидан кичкина параллепипед шаклидаги бўлакча олиб, фазовий координаталар системасида унга таъсир қилаётган кучларни кўрамиз ( - расм).

Параллепипеднинг ҳажмини dV, унинг х, y ва z координаталар ўқига параллел йўналган қирраларини dx, dy ва dz билан белгилаймиз. Параллепипедга таъсир қилаётган оғирлик кучи масса m билан эркин тушиш тезланиши g нинг кўпайтмасига тенг, яъни gdm. Гидростатик

босим кучлари эса, гидростатик босимнинг шу қирралар юзаси кўпайтмасига тенг бўлиб, унинг қиймати координаталар ўқларига боғлиқ:

р = f(x, y, z).

Статиканинг асосий қоидасига мувофиқ, тинч ҳолатга турган кичкина ҳажмга таъсир қилаётган барча кучларнинг координаталар ўқларига нисбатан олинган проекцияларининг йиғиндиси нолга тенг, акс ҳолда суюқлик ҳаракатда бўлар эди.

Кучлар йиғиндисини z ўққа нисбатан проекциялаймиз. Оғирлик кучи z ўққа параллел ва унга қарама-қарши томонга йўналган, шунинг учун бу куч z ўққа манфий (-) ишора билан проекцияланади:

-gdm = -gdV = -gdxdydz.

Параллепипеднинг ҳажми:

dV = dxdydz.

Параллепипеднинг пастки қиррасига гидростатик босим нормал бўйича таъсир қилади ва унинг z ўққа нисбатан проекция pdxdy га тенг. Агар z ўқ бўйича бирор нуқтадаги гидростатик босимнинг ўзгариши dp/dz бўлса, dz қирранинг узунлигида бу босим га тенг бўлади. Бунда қарама-қарши (юқориги) қиррадаги гидростатик босим га тенг ва унинг z ўқ бўйича проекцияси:

z ўққа тенг таъсир этувчи босим кучларининг проекцияси:


z ўққа проекцияланган умумий кучларнинг йиҲидиси нолга тенг ёки:

Параллепипеднинг ҳажми ҳеч қачон нолга тенг эмас, яъни dV = dxdydz  0. Шунинг учун

Оғирлик кучининг x ва у ўкларга нисбатан проекцияси нолга тенг, бу ўкларга фақат гидростатик босим таъсир қилади. Унинг х ўққа проекцияси:

Қавсни очиб, тегишли қисқартириш ишларини бажарсак:

Худди шунингдек у ўқ учун:

Шундай қилиб, кичкина параллепипеднинг мувозанат шарти қуйидаги тенгламалар системаси билан ифодаланади:

Бу тенгламалар системаси Эйлернинг мувозанат ҳолатининг дифференциал тенгламаси дейилади. Суюқликнинг исталган нуқтасидаги гидростатик ва оғирлик кучини аниқлаш учун бу тенгламалар системасини интеграллаш керак. Тенгламаларнинг интеграли гидростатиканинг асосий тенгламаси бўлиб, инженерлик ҳисоблаш ишларида кенг қўлланилади.