1. Ikki karrali integralga keltiriladigan ba’zi masalalar. Ikki karrali integralning ta’rifi

Yechish. Rasmdan

formulaga ko’ra

2-teorema. Chegaralangan va yopiq D sohani OX o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar bilan kesganda shu to’g’ri chiziqlarning istalgan biri D soha chegaralarini ikkitadan ortiq bo’lmagan nuqtalarida kesib o’tsin. D soha nuqtalarining koordinatalari cyd va ₁(y)x₂(y) tengsizliklarni qanoatlantirsa, bu yerda x=₁(y) va x=₂(y) soha chegarasining tenglamalari, c va d lar esa D soha nuqtalarining eng kichik va eng katta ordinatalaridir, u holda D sohada uzluksiz f(x, y) funksiyaning shu soha bo’yicha ikki karrali integrali quyidagi formula bilan aniqlanadi

3-misol. integralni hisoblang.

Bu erda chiziqlar bilan chegaralangan.
Yechish. OX o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar D soha chegaralarini faqat ikkita nuqtada kesib o’tadi. Demak 2-teoremaga ko’ra





6. Qutb koordinatalarida ikki karrali integral.

5-rasm.

Qutb koordinatalari tekisligida biror soha berilgan bo’lsin

sohani markazi qutb boshida bo’lgan kontsentrik aylanalar va qutb boshidan chiqarilgan nurlar yordamida kichik bo’laklarga bo’lamiz

Geometriyadan ma’lumki, har bir yuzacha

yoki bu yerda

(1)

formula bilan aniqlanadi (5-rasm).

sohada uzluksiz funksiya uchun integral yig’indini yozamiz
(2)

(2) yig’indida va bo’lganda limitga o’tsak, bu limit

integralni beradi. Buni hisoblash usuli ham dekart koordinatalarida berilgan holga o’xshash bajariladi

(3)

Agar ikki karrali integral dekart koordinatalarida berilsa, uni qutb koordinatalariga o’tib hisoblash quyidagi formula bilan bajariladi

. (4)

4-misol. bu yerda soha va aylanalar bilan chegaralangan. Integralni qutb koordinatalariga o’tib hisoblang.

6-rasm.

Yechish. larni va ga qo’ysak,

kelib chiqadi, shakldan bo’ladi. Natijada

Bu integralning qiymati pastki asosi soha va yuqoridan sirt bilan chegaralangan silindrik g’o’laning hajmini beradi.