1. Ikki karrali integralga keltiriladigan ba’zi masalalar. Ikki karrali integralning ta’rifi

7. Ikki o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.


OXU tekislikda Z yopiq kontur bilan chegaralangan D soha berilgan bo’lsin. O’zgaruvchi x, y lar yangi o’zgaruvchi u, v larning funksiyasi bo’lsin, ya’ni
x=(u, v), y=(u, v) (1)

(u, v), (u, v) funksiya D₁ sohada bir qiymatli uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.

Shunday qilib, (1) formula D va D₁ sohalarning nuqtalari orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatadi. D₁ sohani ixtiyoriy n ta yuzalarga bo’lamiz va har bir yuza s^|
s^|=uv (2)

formula bilan hisoblanadi. s^| mos keladigan s yuza

s=xy (3)

formula bilan hisoblanadi.

Teylor formulasi va analitik geometriya kursidagi formuladan foydalanib, s va s^| orasidagi quyidagi munosabatni o’rnatish mumkin
s  |J| s^| (4)

Bu erda J determinant (u, v) va (u, v) funksiyalarning funksional determinanti bo’lib, u Yakobian deb ataladi.

Yakobian formula bilan hisoblanadi.

Agarda D sohada uzluksiz bo’lgan z=f(x, y) funksiya berilgan bo’lsa, u holda bu funksiya uchun tuzilgan integral yig’indilar quyidagi
(5)

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu erda

F(u, v)=f((u, v), (u, v))

U holda (4) ga asosan (5) ni yozamiz.

So’nggi ifodada diams0 intilgandagi limitini topsak, quyidagi

(6)

tenglik hosil bo’ladi. Bu esa ikki o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasidir.

Xususan, agar x,u lar qutb koordinatalar sistemasida berilgan bo’lsa, ya’ni x=cos, y=sin bo’lsa, uning yakobianini hisoblaymiz.

Demak, |J|=, shuning uchun

Bu formula yuqorida keltirilgan formula bilan mos tushadi.