1. Introduction Consider hydrodynamic systems in Riemann

---

1. Introduction 
Consider hydrodynamic systems in Riemann 
invariants, 
 
with the characteristic speeds ____ subject to 
______, 
for any 
__________ 
(2) 
 
for any _ _ _ _ _ _. 
The systems satisfying (2) are known as "weakly 
nonlinear". It was shown in ref. [ 1 ] that weak non-
linearity prevents shocks in the region where the sys-
tem is strictly hyperbolic. The systems, satisfying (3), 
are called "semi-Hamiltonian" and may be shown to 
possess an infinite number of conservation laws of 
the form ______ with ____
 
independent of 
_________
, 
etc. (see ref. [ 2] ). In the last years weakly 
nonlinear semi-Hamiltonian systems (WNS systems) 
were extensively studied (see e.g. refs. [2-5 ] ) 
especially from the viewpoint of the solvability of 
the initial value problem. Some questions, 
concerning their Hamiltonian properties, were 
discussed in refs. [6,7 ]. Our aim here is to show that 
the combination of the 
two properties - weak nonlinearity and infinity of 
conservation laws - gives the possibility to obtain 
the complete integral of all WNS systems in a simple 
and closed form. 

---

Let us begin with the analysis of eqs. (2 ) and (3 ). 
For 
n=2 
any WNS system with ______ coast may 
be put into the form 
 
(4) 
which is just the Riemann invariant form of a 
"Chaplygyn gas" - equations of isentropic gas dy-
namics with _____. 
For n=3 the general solution of eqs. (2) and (3 ) is 
expressed by the formula (see ref. [8] ) 
Where _____ and _____ are six arbitrary functions 
of the corresponding variables. The 3x3 systems with 
__________ given by (5) were studied earlier in ref. [2] 
(without emphasizing that (5) is the general solution 
of (2) and (3)). 
To give the general solution of these equations for 
any n> 3 it is convenient to introduce the n_n matrix 

---

where the _____ are arbitrary functions of the cor-
responding variables __________. Let __ be the 
(n —1)_(n-1) matrix obtained from __ after we 
cancel its (n— 1 )th row and ith column. Let __
be the 
(n — 1) x (n— 1) matrix obtained from __ after we 
cancel its nth row and ith column. Now the general 
solution of (2) and (3) is given by 
and for n=3 one immediately comes to (5). How-
ever, we shall not use this explicit form for ___ in the 
following. 
The complete integral of the system (4 ) may be 
expressed by the well known formula 
where the functions ____, and f__ are arbitrary. (To 
obtain the solution of (4) one has to express R
1
and R
2
as functions of _ , t from the implicit formula (7 ). ) With 
the particular choic 
all integrals in (7) become Abelian integrals of the
f i r s t k i n d o n t h e h yp e r e l l i p t i c c u r v e
_ _ _ _ _ _ _ _ _ of genus 2, and eqs. (7) become the 

---

Jacobi inversion problem. As is known from the theory 
of the KelV equation (see e,g. refs. [9,10] ) the function 
 
 
satisfies the equation 
 
which is up to resealing the KdV equation. Solutions 
of the KdV equation obtained by the procedure de-
scribed above are called two-zone solutions. It is in 
some sense surprising that the simple hydrodynamic 
system (4) and the KdV equation have a common 
set of solutions (just all two-zone solutions). 
To obtain the n-zone solutions of the KdV equa-
tion let us take the system 
which is the natural generalization of (4) to the n-
component case and may be easily verified to be a 
WNS-system. As will be shown below, the complete 
integral of (8) is given by 
where the functions (_) are arbitrary. Taking 

---

and introducing 
we again arrive at the KdV equation
These are just n-zone solutions. Note, that in the KdV 
theory the R are the zeros of the corresponding __-
function, ___________. The evolution of R, governed 
by (8), is thus the evolution of the zeros of 1,v, when 
the potential u evolves according to the KdV equation. 
The form (9) of the complete integral of the sys-
tem (8 ) may be generalized to any WNS system ( 1): 
where the ____ are arbitrary, while the ____ are 
fixed and completely determined by the system (1) 
under cons id eration (e. g. fo r the s ys tem (8 ) we 
h ave ___ _. Before proceeding directly to the 
methods of integration we shall say a few words about 
the applications of eqs. (2) and (3).

---

1.1. Applications in differential geometry. Cyclids of 
Dupin /111 
Let be the hypersurfacc of the Euclidean space