1. Introduction Consider hydrodynamic systems in Riemann

E"' 
1
, parametrized by the coordinates R along its 
lines of curvature. (Note, that in general the lines of 
curvature do not form a coordinate system, and such 
a parametrization is possible only for some special 
hypersurfaces.) Let ____________
 be the principal 
curvatures of M . 
Definition. The hypersurface M is called a cyclid 
of Dupin, if each 
_(R) is constant along the cor-
responding line of curvature, or, equivalently, 
________ for any 
 =1.....n. 
Let 
be the metric of M . The Peterson-Kodazzi equa- 
tion is 
and after cross-differentiation they lead to (3). We 
see that the principal curvatures 
' (R) of any eyelid of 
Dupin are governed by eqs. (2) and (3), This gives 
the possibility to classify 
all eyelids of Dupin using 
formula (6). (Note, that not all (R) given by (6) 
really correspond to some eyelids of Dupin, What one 
has to do in order to complete the classification is to 
choose those solutions which actually do. For this 
purpose one has to use the Gauss equations of
M .) 

---

1.2. Applications in variable separation. Metrics of 
Stackel 
The diagonal metric _______________is called 
a metric of Stackel, if the corresponding Hamilton-
Jacobi equation 
admits complete separation of variables, i.e. solu -
tions of the form 
W(R)= W(R )+ ,...,+ W(R ), 
depending on 
n arbitrary constants (including h). 
As shown by Eisenhart, such variable separation is 
possible if and only if the equations of the geodesics 
corresponding to ds
2
admit 
n quadratic integrals of 
the form 
(____ the functions to be determined). Eisenhart 
found also the conditions for (11) to be an integral of 
geodesics, 
, 
for any 
i= 1, ..., n, 
that give (2) and (3) after cross-differentiation. In-
serting the general formula (6) for ____
 in (12), one 

---

arrives at the well known expression for 
g,, obtained 
by Stackel:
 
where 6, and 
.2 were defined before, while ___ are n 
arbitrary functions. 
Let us conclude with a technical remark. In ap -
plications we are usually given a system 
, 
(13) 
which is not written in Riemann invariants explic -
itly. How to decide, 
if it is weakly nonlinear without 
computing the eigenvalues and eigenvectors of v
j
i? 
We propose the following direct procedure. Com -
pute the characteristic polynomial 
and write down the following covector, 
, (14) 
Where__________________
, 
and ____ means the 
nth power of the matrix 
Proposition. The system (13) is weakly nonlinear 
if and only if the covector (14) is identically zero. 
(This fact is true even without assuming the exis -
tence of Riemann invariants.)
 
Now we present four methods to integrate VANS 
systems: 
(1) A method to solve the initial value problem. 
(2) Linearization via a reciprocal transformation. 

---

(3) G en e r al iz ed h o d o gr ap h t ra n s f o r m.
(4) T h e w e b g e o m e t r y m e t h o d .
All of them are based on different ideas and may 
be interesting in their own right. The methods are 
illustrated being applied to the system (8), of course, 
with one and the same result (9). 
2. A method to solve the initial value problem