1. Introduction Consider hydrodynamic systems in Riemann

4. Generalized hodograph transform 
Let ____________ be an arbitrary flow, commuting 
with all the flows in (19). (Note, that we do not 
assume _____ to be weakly nonlinear.) Write down 
the equations 
where ____ and _____ are the WNS flows, taken 
from (19). Eq. (26) gives n implicit relations be-
tween the variables R. Expressing the R as functions 
of x and t, we obtain a general solution of (19) (general, 
because the ___ are solutions of the linear system (18) 
and depend on ____
 
arbitrary functions of one 
variable ). This procedure is called "generalized 
hodograph transform" [2]. To apply the generalized 
hodograph transform, one needs only to solve the 
linear system (18). In general it is not so easy to ob-
tain the complete integral of (18). However, it is 
possible for any WNS system. 
Proposition. The commuting flows ___(R) of any 
WNS system (1) are given by the formula 
 

---

where __ (R) is the given WNS flow, the ___(R) are 
the WNS flows from (19), commuting with it, and 
the ___ are of the form( 
) where the ____ are n arbitrary functions, while 
the ______ are fixed and completely determined by 
the given flow ____. It is not a problem to find the 
____ for any given system. (For example, in the 
case (8) ( 
)etc., while( 
) i.e. _______. 
Combining (26) and (27), we have ( 
). It 
immediately follows that_________, _______, 
_________. However, the last equations coincide 
with (10) when ____________. 

---

5. The web geometry method.
There 
is no place to go into details, and we shall 
only outline the idea. The interested reader may con-
sult ref. [11]. However, this was the first (although 
not the simplest) 
way to arrive at formula (10 ). 
Each solution _______ of the system (1) carries 
n 
+2 one-parameter systems of curves R=const, 
t=const and x= const (the curves R=const are 
called characteristics). In differential-geometric ter-
minology one can say that each solution of ( I ) car-
ries an ( n + 2 )-web of curves. 
Definition (W. Blaschke). The rank of the n-web 
is the maximal number of linearly independent re-
lations of the form 
where the function 
A' is constant along the curves of 
the rth family. 
X` our case we have to study relations 
of the form ( 
 
) where ___, ___ and  
g are the functions to be 
determined. As shown in ref. [11], the number of 
such relations is exactly 
n for any WNS system. 
These are just the equations (10). Indeed, all the 
equations (10 ) arc of the form (28). 
Acknowledgement 

---

118 
Discussions with V.G. Mikhalev, M.V. Pavlov and 
S.F. Tsarev were helpful while writing this paper.