1 Kechikuvchi va ilgarilovchi potensiallar 2

1 Kechikuvchi va ilgarilovchi potensiallar 2

Reja
1

• 
  Kechikuvchi va ilgarilovchi potensiallar
  

2

• 
  Lienar-Vixert potensiallari
  

18-mavzu. IXTIYORIY HARAKATDAGI ZARYADLARNING ELEKTROMAGNIT MAYDONI
Qandaydir hajmda ixtiyoriy harakatda bo’lgan zaryadlar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu hajmda zaryadlarning taqsimoti va harakati vaqt va fazoda o’zgaruvchi zaryad zichligi va tok zichligi bilan aniqlansin.
Shu zaryadlar sistemasining maydonini topish kerak.
Bu masalani o’rganishni Lorenz kalibrovkasida potensallar uchun yozilgan Dalamber tenglamalarining yechimlarini aniqlashdan boshlaymiz:
Bu yerda yuqorida ta’kidlaganimizdek, potensiallar uchun Lorenz sharti
o’rinli.
Dalamber tenglamalari - xususiy hosilali evolyutsion (tenglamalarda vaqt bo’yich hosila bor) tenglama bo’lganligi sababli, uning yechimini aniqlash uchun
dan tashqari boshlang’ich va chegaraviy shartlar berilgan bo’lishi lozim.
Elektromagnit maydonni topish masalasi quyidagicha qo’yilishi mumkin:
Boshlang’ich vaqtga qadar (t<0) zaryadlar tinch turibdi va t=0 momentdan boshlab zaryadlar ixtiyoriy qonuniyat bilan harakat qila boshlaydi deb faraz qilamiz. Bunda elektromagnit maydonda boshlang’ich holatga nisbatan g’alayonga keladi deb qarash mumkin. Shu sababli (1) va (2) tenglamalarni aynan shu g’alayon uchun yozilgan deb qaraymiz. Bu holda maydonning o’zgarishi uchun javobgar bo’lgan zaryad va tok zichligi t > 0 da ma’lum deb qaraladi.
t < 0 da esa
deb olish kerak.
Masalani bunday qo’yilishida boshlang’ich vaqtda
bo’ladi.
Maydon kuchlanganliklari va potensiallar orasidagi bog’lanish
tenglamalariga asosan bu shartlar potensiallar uchun quyidagi ko’rinishda yoziladi:
Chegaraviy shartlar: t > 0 da kuzatish nuqtasi cheksiz uzoqlashganda potensiallar 1/r dan tezroq nolga intilishi talab qilinadi.
Yuqorida qo’yilgan masalani aniq matematik metodlar yordamida yechish mumkin. Ammo bu masalaning yechimini ancha qulay bo’lgan fizik usul yordamida topamiz. Bu usulning asosida chiziqli tenglamalar uchun o’rinli bo’lgan superpozitsiya prinspi yotadi.
Zaryadlar egallagan sohani cheksiz kichik hajm elementlariga bo’lamiz. Shu cheksiz kichik hajm elementlaridan biridagi zaryadlar hosil qilayotgan maydonni aniqlaymiz. Ko’rilayotgan zaryadlar sistemasining maydoni barcha cheksiz kichik hajm elementlaridagi zaryadlar maydonlarining superpozitsiyasiga (yig’indisiga) teng.
Cheksiz kichik hajm elementlaridan birini tanlab olamiz. Undagi zaryad
Faqat shu zaryad mavjud deb, uning maydonini dV hajmdan tashqarida aniqlaymiz. dV hajmdan tashqarida zaryadlar yo’q, demak, tok ham bo’lmaydi. Bu hol uchun (1) va (2) tenglamalar bir jinsli tenglamalarga o’tadi.
Avval skalyar potensial uchun tenglamaning yechimini aniqlaymiz:
Cheksiz kichik hajm elementidagi zaryadning hajmdan tashqarida hosil qilayotgan maydoni sferik simmetriyaga ega bo’ladi, ya’ni u faqat zaryaddan kuzatish nuqtasigacha bo’lgan masofaga va vaqtga bog’liq bo’ladi
Bu holda Laplas operatorini sferik koordinatalarda yozilishidan foydalanib (5) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
Yangi funksiya kiritamiz:
Bu funksiyaga nisbatan (6) tenglama, bizga ma’lum bo’lgan to’lqin tenglamasiga o’tadi, ya’ni:
Bu tenglamaning yechimini umumiy holda quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
Avval (5) tenglamaning (9) dagi birinchi had bilan bog’liq bo’lgan xususiy yechimini ko’rib chiqamiz, ya’ni:
(10) Ifodani (7) ga qo’ysak
Shu vaqtgacha uncha murakkab bo’lmagan matematik amallarni bajardik. Fizika nuqtai nazaridan masalaning eng muhim joyiga yetib keldik. (11) vaqt o’tishi (t > 0) bilan zaryad turgan nuqtadan (markazdan) с tezlik bilan tarqaluvchi sferik to’lqinni ifodalaydi. Kuzatish nuqtasi zaryad turgan nuqtaga cheksiz yaqin bo’lganda (R→0, t -R/c →t) (11) quyidagi ko’rinishga o’tadi:
nuqtaviy zaryad maydon potensialiga teng:
Oxirgi ikkita ifodani taqqoslab,
ekanligini aniqlaymiz. Bundan tashqari, potensial t ning funksiyasi sifatida silliq funksiya bo’lganligi uchun
tenglik o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, hajm elementidagi zaryadlar hosil qilayotgan maydonning skalyar potensiali uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
Bu ifodadan ko’ramizki. kuzatish nuqtasida vaqtning t momentidagi potensial vaqtning oldingi
momentidagi zaryad zichligi bilan aniqlanadi. Zaryad turgan joyda vaqtning τ momentida paydo bo’lgan maydon g’alayoni R masofani с tezlik bilan R/c vaqtda bosib o’tib, kuzatish nuqtasiga shuncha vaqtga kechikib yetib keladi. Shuning uchun (14) bilan aniqlangan potensial kechukuvchi potensiallar deyiladi.
Zaryadlar sistemasining maydon potensialini aniqlash uchun (14) ifodani ular egallagan soha bo’yicha integrallash lozim:
Huddi shunga o’xshash yo’l bilan vektor potensialni aniqlaymiz:
Bu ifodalar yana kechikuvchi potensiallar deb ataladi.
Endi (9) dagi ikkinchi had bilan bog’liq bo’lgan xususiy yechimni ko’rib chiqamiz. Bu holda Dalamber tenglamalarining yechimi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
Bunday potensiallar ilgarilovchi potensiallar deyiladi. Ilgarilovchi potensiallar (4) boshlang’ich shartni qanoatlantirmaydi. Zaryad va toklar tegishli nuqtalarda paydo bo’lmasdan shu zaryadlar bilan bog’liq bo’lgan may­don yuzaga keladi. Bu hol esa sababiyat prinsipiga zid. Demak, klassik fizikada ilgarilovchi potensiallar ma’noga ega emas.

•