1. Koordinatalarni almashtirish Slindrik koordinatalar sistemasi

Slindrik koordinatalar sistemasi oid misoolar yechish.
Slindrik koordinatalar sistemasi, bir nuqta koordinatalarini bajarish uchun tavsiflash usulidir. Ushbu sistemada, nuqta koordinatalari orqali nuqtaning konfiguratsiyasi ma'lum qilinadi.
Misol: Slindrik koordinatalardagi nuqta koordinatalarini kartezian koordinatalarga o'tkazish.
Berilgan Slindrik koordinatalar (ρ, φ, z) bo'lsin, ρ - nuqta orqali originaga bo'lgan masofa, φ - nuqta tomonidan originadan olib tashlangan burchak, z - nuqta bo'ylab originadan o'tkazilgan masofa. Bu nuqtaning kartezian koordinatalari (x, y, z) bo'lishi kerak.
x = ρ * cos(φ)
y = ρ * sin(φ)
z = z
Misol uchun, ρ = 2, φ = π/4 (45 gradus), z = 3 berilgan bo'lsin. U holda:
x = 2 * cos(π/4) = 2 * √2 / 2 = √2
y = 2 * sin(π/4) = 2 * √2 / 2 = √2
z = 3
Shu bilan, Slindrik koordinatalarda (2, π/4, 3) ko'rsatilgan nuqta kartezian koordinatalarda (√2, √2, 3) ga mos keladi.
Misol: Slindrik koordinatalarda ikki nuqta orasidagi masofani topish.
Berilgan ikki nuqta A(ρ₁, φ₁, z₁) va B(ρ₂, φ₂, z₂) olsin. Bu nuqtalar orasidagi masofani topish uchun quyidagi formulani ishlatamiz:
d = √((ρ₂² + ρ₁²) - 2(ρ₁ρ₂cos(φ₂ - φ₁)) + (z₂ - z₁)²)
Misol uchun, A(3, π/4, 2) va B(2, π/6, 4) berilgan bo'lsin. U holda:
d = √((2² + 3²) - 2(2 * 3 * cos(π/6 - π/4)) + (4 - 2)²)
√(4 + 9 - 12 * cos(π/6 - π/4) + 2)=
√(13 - 12 * √3 / 2 + 2)=
√(15 - 6√3)
Shu bilan, A va B nuqtalari orasidagi masofa √(15 - 6√3) ga teng.


Sferik koordinatalar sistemasi oid misoolar yechish.
Sferik koordinatalar sistemasi, nuqtaning koordinatalarini bajarish uchun tavsiflash usuli bo'lib, nuqta orqali originaga bo'lgan masofani (r), burchaklarini (θ) va burchak uzunligini (φ) ifodalaydi. Ushbu sistemada, nuqta kartezian koordinatalarga o'tkaziladi.
Misol: Sferik koordinatalardagi nuqta koordinatalarini kartezian koordinatalarga o'tkazish.
Berilgan sferik koordinatalar (r, θ, φ) bo'lsin, r - nuqta orqali originaga bo'lgan masofa, θ - nuqta tomonidan originadan olib tashlangan burchak (azimuth angle), φ - nuqta tomonidan z-axisdan olib tashlangan burchak (polar angle). Bu nuqtaning kartezian koordinatalari (x, y, z) bo'lishi kerak.
x = r * sin(φ) * cos(θ)
y = r * sin(φ) * sin(θ)
z = r * cos(φ)
Misol uchun, r = 3, θ = π/4 (45 gradus), φ = π/6 (30 gradus) berilgan bo'lsin. U holda:
x = 3 * sin(π/6) * cos(π/4) = 3 * 1/2 * √2/2 = 3√2/4
y = 3 * sin(π/6) * sin(π/4) = 3 * 1/2 * √2/2 = 3√2/4
z = 3 * cos(π/6) = 3 * √3/2 = 3√3/2
Shu bilan, sferik koordinatalarda (3, π/4, π/6) ko'rsatilgan nuqta kartezian koordinatalarda (3√2/4, 3√2/4, 3√3/2) ga mos keladi.
Misol: Sferik koordinatalarda ikki nuqta orasidagi masofani topish.
Berilgan ikki nuqta A(r₁, θ₁, φ₁) va B(r₂, θ₂, φ₂) olsin. Bu nuqtalar orasidagi masofani topish uchun quyidagi formulani ishlatamiz:
d = √(r₁² + r₂² - 2r₁r₂(cos(θ₂ - θ₁)sin(φ₁)sin(φ₂) + cos(φ₁)cos(φ₂)))
Misol uchun, A(3, π/4, π/6) va B(2, π/6, π/3) berilgan bo'lsin. U holda:
d = √(3² + 2² - 232(cos(π/6 - π/4)sin(π/6)sin(π/3) + cos(π/6)cos(π/3)))=
√(9 + 4 - 12(cos(π/6 - π/4)sin(π/6)sin(π/3) + cos(π/6)cos(π/3)))=
√(13 - 12(√3/4 * √2/2 * √3/2 + √3/2 * 1/2))=
√(13 - 12(3/4 * 1/2 * 3/2 + 3/2 * 1/2))=
√(13 - 12(9/16 + 3/4))=
√(13 - 12(9/16 + 12/16))=
√(13 - 12 * 21/16)=
√(13 - 21/4)=
√(52/4 - 21/4)=
√(31/4)=
√31/2
Shu bilan, A va B nuqtalari orasidagi masofa √31/2 ga teng.


Xulosa
Men bu mustaqil ishni 2 reja asosida yozdim.1 rejani kirish qismiga bag’ishladim va kirish qismida Koordinatalarini almashtirish. Slindrik va sferik koordinatalar sistemasi mavzusiga xaqida qisqacha malumot berdim.2 reja esa asosiy qism bo’ldi va men uni 4 qismga yani rejalarga bo’lib tushuntirdim . 2.1-rejada koordinatalar almashtirish xaqida va bu mavzuni misollar yordamida tushuntirdim.2-2reja esa slindrik koordinatalar sistemasi mavzusiga bag’ishladim va slindrik koordinatalar sistemasig batavfsil to’xtaldim va bu xaqda ma’lumotlar berdim.2-3 rejada sferik koordinatalar sistemasi xaqida yozdim va bu mavzuga xam batafsil to’xtaldim. 2-4 rejani mavzuga oid missollar ishlashga bag’ishladim va koordinatalarni almashtirish.Sferik va slindrik koordinatalar sistemasi mavzusiga oid bir necgta misollar ishladim va bu misollar qaday ishlanishi xaqida yozdim. Xulosa qilib aytadigon bo’lsam.Koordinatalarini almashtirish. Slindrik va sferik koordinatalar sistemasi fizka fanini asosiy mavzularidan biri ekanligini bildim va bu mavzu yuzasidan o’zimda yangi bilimlar xosil qildim.