1. Kóplik túsinigi. Kóplikler ústinde ámeller hám olardıń qásiyetleri Sanlı kóplikler

Kópliklerdiń dekart kóbeymesi .
Birinshi elementi A kópligine hám ekinshi elementi V kópligine tiyisli bolǵan barlıq (a, b) juplıqlar kópligi A hám V kóplikleriniń dekart (tuwrı) kóbeymesi dep ataladı hám bul kóbeyme A V kóriniste belgilenedi.
X/E ayırma E kópliginiń X kópligine salistirǵanda tolıqtırıwshısı dep ataladı hám SE kóriniste belgilenedi.
Mısal. X=[-1, 2] hám E=(0, 1) bolsa, onda SE=[-1,0]  [1,2].
Kóplikler ústinde ámellerdiń qásiyetleri
1. Qálegen M kópligi ushın M  M qatnasi orınlı.
2. Qálegen M kópligi ushın M qatnası orınlı.
3. Eger úsh kóplik ushın MN , NS bolsa, onda MS orınlı boladı.
4. Qálegen úsh kóplik ushin (MN)  S=M( N S) associativlik qásiyeti orınlı. Bul qásiyet kópliklerdiń kesilispesi ushında orınlı.
5. Kópliklerdiń birlespesi hám kesilispesiniń kommutativlik qásiyeti:
M  N  N M , M N  N  M.
6. Kópliklerdiń birlespesi hám kesilispesiniń distributivlik qásiyeti:
M ( N S )=( M  N )  ( MS ) , M N= N M .
San matematikanıń tiykarǵı túsinikleriniń biri. Ol dáslepki túsinik bolip, uzaq tariyxiy rawajlanıw jolın basıp ótti. Zatlardıń sanaw zárúrliginen natural sanlar toplamı payda boldı: N=1, 2,.......,n,....
Natural sanlar toplamına olarǵa qarama-qarsı sanlardı hám nol` sanın qosqannan keyin púkin sanlar kópligi alındı:
Z =  …..,-n,……,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,n,...}.
Matematikanıń odan ári rawajlanıw barısında racional sanlar Q= p/q}, p,q ,q hám irracional (yaǵnıy racional bolmaǵan) sanlar túsinigi kiritiledi. Hárqanday racional san shekli yamasa sheksiz periodli onlıq bólshek túrinde, al irracional sanlardı sheksiz periodli emes onlıq bólshek túrinde jazılıwı múmkin. Racional sanlar hám irracional sanlar kóplikleriniń birikpesi haqıyqıy sanlar dep ataladı hám ol kóbinese R háribi menen belgilenedi.
Toplam túsinigi – matematikanıń tiykarǵı túsiniklerinen biri bolıp, ol anıqlanbaytuǵın, tek mısalda ǵana túsindiriletuǵın túsinik esaplanadı. Maselen, auditoriyadaǵı talabalar toplamı, tuwrı sızıqdaǵı noqatlar toplamı, kitapdıń belgili betindagi noqatlar toplamı, kitapdıń belgili betindegi haripler toplamı, Ózbekistandaǵı walayatlar toplamı, Quyash sistemasındaǵı planetalar toplamı, birar aylanada jatıwshı noqatlar toplamı hám t.b.
Toplamın payda etiwshi obietkler onıń elementleri delinedi. Toplamların A, a, a, A yaki A haripleri menen belgileymiz. Toplam bir qansha elementlerden ibarat bolıwı mumkin, tómendegishe:
aA (1)
a elementi A toplamǵa tiyisliligin bildiredi.
a A (2)
a elementin A toplamǵa tiyisli emesligin bildiredi, yaki logikalıq belgisinen paydalanǵan halda kórinisinde jazıwımız mumkin. Eger aA bolsa, ol halda a element A toplamǵa tiyisli deyiledi.
Kólemlilik aksiomasına kóre toplam elementlerin tómendegishe belgilewimz mumkin,
, (3)
bunda, A toplam quramında 1 sanı hám a,t,x haripler belgiler kiredi.
Tolıqlıq aksiomasına kóre toplam elementleriniń sanı onıń quramına kiriwshi t elementler menen anıqlanıp olardıń qanday tartiplengenligine baylanıslı emes.
A toplam toplam menen hám toplam menen ham bir qıylı. Toplamlar tiykarınan eki túrli usılda beriledi:
1) elementleriniń dizimi menen; 
2) elementleriniń xarekteristikalıq qásiyetleri menen.
Maselen,
A={qızıl; sarıq; jashıl}- dizimi,
A={svetofor reńleri toplamı}- xarakteristikalıq qásiyetleri.
Elementarlarınıń sanına kóre toplamlar 3 túrli boladı: shekli toplamlar; sheksiz toplamlar hám bos toplamlar.
Maselen, auditoriyadaǵı talabalar toplamı-shekli toplam, barlıq natural sanlar (1, 2, 3, ...) toplamı bolsa sheksiz toplam.
Matematikada kóbinshe sanlı toplamlar, yaǵnıy elementleri sanlardan ibarat bolǵan toplamlar isletiledi. Mektep matematika kursıdan bilemiz, olar belgili belgiler menen belgilenedi: N – barlıq natural sanlar toplamı; Z – barlıq pútin sanlar toplamı; Q – barlıq ratsional sanlar toplamı; R – barlıq haqıqıy sanlar toplamın C – barlıq kompleks sanlar toplamı.
Ádette toplam elementlerin kórsetip jazıw ushın úlken qawıs (figuralı qawıs – {}) dan foydalanıladı.
Maselen,
N = {1, 2, 3, …..n, ….}
Z = {…., -n, …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….., n, …..}
Shekli kóplik bir yáki bir neshe elementden payda bolǵan bolıwı yáki bir ham elementge iye bolmawın múmkin. Bir hám elementge iye bolmaǵan kóplik bos kóplik delinedi hám {Ø} belgi bilen belgilenedi.
Maselen, belgili auditoriyadaǵı talabalar ishinen familiyaları A haribi menen baslanatuǵın talabalar toplamın qarayıq. Bul toplam bir yáki bir neshe elementli yáki hatte bos toplam bolıwı mumkin.