1-Laboratoriya mashg’uloti: Matlab tizimida chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq qilish va yechish. Ishdan maqsad

1-Laboratoriya mashg’uloti: Matlab tizimida chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq qilish va yechish.
Ishdan maqsad: Matlab tizimida chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq qilish va yechish.
Nazariy qism:
Chiziqli tenglamalar tizimini yechishda matritsa usullarini qo‘llashning eng keng tarqalgan usullaridan biridir. Ma’lumki, oddiy chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

Tenglamalar tizimini yechishning turli usullarini ko‘rib chiqamiz.
Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechishning matritsa usuli
Noma’lumlar uchun koeffitsientlari - A matritsa bo‘lsin;
B - ozod xadlarning ustun vektori;
X – noma’lumlarning ustun vektori, ya'ni.

U holda tenglamalar tizimini АХ=В matritsa shaklida yozish mumkin. Tenglamalar tizimi yechimi Х=А^–1В ko‘rinishga ega bo‘lib, bu yerda A^–1 matritsa A matritsaning teskarisi hisoblanadi.
Masalan
Quyidagi tenglamalar tizimini yeching

Kiritish tartibi:
>> A=[2 –1;5 2]
>> В=[4; 3]
>> X=A^–1*B
х1=1,222, х2=–1,556 natijaga ega bo‘lamiz.
Chiziqli tenglamalar tizimini Kramer usulida yechish
Kramer usulida chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun quyidagilar bajariladi:
1. Noma’lumlar koeffitsientlaridan iborat asosiy matritsani o‘rnating.
2. Yordamchi matritsalarni belgilang (asosiy matritsada bitta ustunni navbatma-navbat ozob hadlar qiymatlari bilan almashtiring).
3. Tegishli yordamchi matritsaning determinantini bosh matritsaning determinantiga bo‘lish yo‘li bilan noma’lum tenglamalar sistemasini hisoblang.
Masalan
Quyidagi tenglamalar tizimini yeching

Kirish tartibi:
>>A=[2 -1;5 2]
>>A1=[4 -1;3 2]
>>A2=[2 4;5 3]
>> x1=det(A1)/det(A)
>> x2=det(A2)/det(A)
x1=1,222, x2=-1,556 natijalarni olamiz.
Tenglamalar tizimini grafik usulda yechish
Agar tenglamalar tizimi (chiziqli yoki chiziqli bo‘lmagan) ikkita tenglamadan iborat bo‘lsa va ular oddiy ifodalar bo‘lsa, u holda tizimni grafik tarzda yechish mumkin. Buning uchun quyidagilarni bajarish kerak:
1. Har bir tenglamada tenglamalar tizimining noma’lumlaridan birini ikkinchisi bilan ifodalash kerak.
2. Olingan funksiyalar argumenti qiymatlari diapazoni belgilanadi.
3. Funksiyalar beriladi.
4. Funksiyalarning grafiklari quriladi.
5. To‘r chiziqlari qo‘shiladi.
6. Funksiya grafiklarining kesishish nuqtasini topiladi. Uning koordinatalari tenglamalar tizimining yechimidir (absissa - bu boshqa noma’lum ifodalangan noma’lumning qiymati, ordinata - ifodalangan noma’lumning qiymati). Agar kerak bo’lsa, grafikni masshtablang).
Masalan
Quyidagi tenglamalar tizimini yeching

Biz tenglamalar tizimida ikkinchi noma’lumini birinchisi bilan ifodalab olamiz, natijada quyidagiga ega bo‘lamiz

Birinchi funksiya Y1=2X – 4, ikkinchi funksiya Y2=1,5 – 2,5X ga teng bo‘lsin.
Kiritish tartibi:
>> X=–2:0.5:2;
>> Y1=2*X–4;
>> Y2=1.5–2.5*X;
>> plot(X,Y1,X,Y2)
>> grid
Natijada, biz rasmda ko‘rsatilgan grafikni olamiz, mashtablashtirilganda x1=1,222, x2=-1,556 ekanligini ko‘rishimiz mumkin.

Tenglamalar tizimini solve funksiyasidan foydalanib yechish
MATLAB da chiziqli yoki chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimini yechish uchun maxsus solve funksiyasi mavjud. Ushbu funktsiyadan foydalangan holda tenglamalar tizimini yechish uchun quyidagilar bajariladi:
1. Simvolik o‘zgaruvchilarni (noma’lum tenglamalar sistemasini) aniqlang.
2. Noma’lumlarni [x1,x2,…]=solve('tenglama1','tenglama2',...) formula bo‘yicha hisoblang.
3. Topilgan yechimni vpa(o‘zgaruvchi, belgilar soni) funksiyasi yordamida berilgan aniqlikda chiqaring.
Masalan
Tenglamalar tizimini yiching

Kiritish tartibi:
>> syms x1 x2
>> [x1,x2]=solve('2*x1–x2=4','5*x1+2*x2=3');
>> vpa(x1,4)
>> vpa(x2,4)
х1=1,222, х2=–1,556 natijalarni olamiz.
Topshiriqlar:
I. Chiziqli tenglamalar tizimlarini matritsali usulda, Kramer usuli va solve funksiyasidan foydalanib yeching:

II. Chiziqli tenglamalar tizimlarini matritsali usulda, Kramer usuli, grafiklar usuli va solve funksiyasidan foydalanib yeching:

III. Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimlarini grafiklar usul va solve funksiyasidan foydalanib yeching:

IV. Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimlarini solve funksiyasidan foydalanib yeching: