1-лоборатория иши

partiyalar natijalariga bog‘liq emas. O‘yin b-partiyagacha tugashi
ehtimol ligini toping.



3-laborotoriya
Mavzu: Shartli extimollik. Bog‘liq hodisalar. Birgalikda bo‘lgan hodisalar. To‘la extimol va Beyes formulasidan foydalanib hodisalarning ro‘y berish ehtimolini topish.

Faraz qilaylik, hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartida ro‘y bersin. Bu hodisalarning extimollari va hodisaning shartli extimollari ma’lum bo‘lsin. hodisaning extimolini qanday topish mumkin? Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.

Teorema. To‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartidagina ro‘y beradigan hodisaning extimoli shu hodisalardan har birining extimolini hodisaning mos shartli extimoliga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:





Isbot. Shartga ko‘ra hodisa ro‘y berishi uchun birgalikda bo‘lmagan hodisalarning bittasi ro‘y bergan bo‘lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, hodisaning ro‘y berishi birgalikda bo‘lmagan hodisalarning qaysi biri bo‘lsa ham, bittasining ro‘y berishini bildiradi. A hodisaning extimolini xisoblash uchun qo‘shish teoremasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:


(8)

Har bir qo‘shiluvchini xisoblash lozim. Bog‘liq hodisalar ehtimollarini ko‘paytirish formulasiga asosan

... ... ... ... ... ...

Bu tengliklarning o‘ng tomonidagi ifodalarni (8) munosabatga qo‘yib, to‘la extimol formulasini hosil qilamiz:

.

Faraz kilaylik, hodisa to‘la gruppa tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan hodisalardan biri ro‘y berish shartidagina ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu hodisalarning qaysi biri ro‘y berishi avvaldan noma’lum bo‘lgani sababli ular gipotezalar deyiladi. hodisaning ro‘y berish extimoli to‘la extimol formulasiga asosan aniqlanadi:

Faraz qilaylik, sinash o‘tkazilgan bo‘lib, uning natijasida hodisa ro‘y bergan bo‘lsin. Gipotezalarning extimollari qanday o‘zgarganligini ( hodisa ro‘y berganligi sababli) aniqlash masalasini qo‘yaylik. Boshqacha aytganda.

shartli extimollarni izlaymiz.
Avval shartli extimolni topamiz. Ko‘paytirish teoremasiga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bundan

Bu munosabatda ni (8) formulaga asosan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:

Qolgan gipotezalarning shartli ehtimollarini aniqlaydigan formulalar shunga o‘xshash keltirib chiqariladi, ya’ni ixtiyoriy

gipotezaning shartli extimollari quyidagi formula bo‘yicha xisoblanishi mumkin:

Hosil qilingan formulalar (ularni 1764 yilda keltirib chiqargan ingliz matematigi nomi bilan) Beyes formulalari deyiladi. Bu formulalar sinash natijasida hodisa ro‘y berganligi ma’lum bo‘lgandan so‘ng gipotezalar ehtimollarini qayta baxolashga imkon beradi.
5-misol. Zavod sexida tayyorlanadigan detallar ularning yaroqliligini tekshirish uchun ikki nazoratchidan biriga tushadi. Detalning birinchi nazoratchiga tushish extimoli 0,6 ga teng, ikkinchisiga tushish extimoli 0,4 ga teng. Detalni yaroqli deb tan olish extimoli 1-nazoratchi uchun 0,94 ga, 2-uchun 0,98 ga teng. Tekshirish vaqtida detal yaroqli deb qabul qilindi. Shu detalni 1- nazoratchi tekshirganlik extimolini toping.
Yechish. orqali detalning yaroqli deb qabul qilinganlik hodisasini belgilaymiz. Ikki xil taxmin qilishimiz mumkin:
1) detalni 1- nazoratchi tekshirgan(V₁ gipoteza);
2) detalni 2- nazoratchi tekshirgan(V₂ gipoteza);
Izlanayotgan extimolni, ya’ni detalni 1- nazoratchi tekshirganligi extimolini Beyes forulasi bo‘yicha topamiz:

Masala shartiga ko‘ra:
(detalning 1- nazoratchiga tushish extimoli);
(detalning 2- nazoratchiga tushish extimoli);
( 1- nazoratchining detalni yaroqli deb qabul qilish extimoli);
( 2- nazoratchining detalni yaroqli deb qabul qilish extimoli).
Izlanayotgan extimol:
Ko‘rinib turibdiki, sinashgacha V₁ gipotezaning extimoli 0,6 ga teng edi, sinash natijasida ma’lum bo‘lgandan so‘ng esa shu gipotezaning extimoli o‘zgardi va 0,59 ga teng bo‘ldi. Shunday qilib, Beyes formulasi qaralayotgan gipotezaning extimolini qayta baxolashga imkon beradi.