1-Maruza: Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechish

1-Maruza: Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni taqriban yechish
Ma’lumki, ko‘pincha amaliy masalalarni echishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalardan iborat bo‘ladi. Oddiy differensial tenglamalar esa juda ko‘p muhandislik masalalarini echishda uchraydi. Demak, differensial tenglamalarning ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi echimlarini topish katta ahamiyatga ega.
Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar.
Xususiy hosilali differensial tenlamalarga keyinroq batafsil to‘xtalamiz.
Oddiy differensial tenglamalarda faqat bir o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya va uning hosilalari qatnashadi, ya’ni
(11.1)
(1) tenglamada qatnashuvchi hosilalarning eng yuqori tartibi differensial tenglamalarning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, unga chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaning umumiy echimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi va n ta o‘zgarmaslarga bog‘liq ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (11.1) tenglamaning umumiy echimi ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat . Agar o‘zgarmaslarga muayyan qiymatlar berilsa, umumiy echimdan xususiy echim hosil qilinadi. Xususiy echimni topish uchun o‘zgarmaslarning mos qiymatlarini aniqlash lozim. Buning uchun esa echimni qanoatlantiruvchi qo‘shimcha shartlarga ega bo‘lishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bo‘lsa, yagona xususiy echimni topish uchun xuddi shuncha qo‘shimcha shartlar kerak. Xususan, 1-tartibli tenglama ( ) ning umumiy echimi dagi s o‘zgarmasni topish uchun 1 ta qo‘shimcha shartning berilishi kifoya.
Qo‘shimcha shartlar berilishiga ko‘ra differensial tenglamalar uchun 2 xil masala qo‘yiladi:

1. 
   Koshi masalasi
   
2. 
   Chegaraviy masala.
   

Agar qo‘shimcha shartlar bitta nuqtada berilsa, differensial tenglamani echish uchun qo‘yilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich shartlar, nuqta esa boshlang‘ich nuqta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni echishning chizma, analitik, taqribiy va sonli echish usullari mavjud.
Analitik usullarda differensial tenglamaning echimlari aniq formulalar orqali aniqlanadi.
Taqribiy usullarda differensial tenglama va qo‘shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi.
Sonli usullarda esa echim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko‘rinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan echim ham taqribiy bo‘ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning echimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo‘lganligi uchun, amalda ko‘pincha ularni sonli usullar yordamida taqribiy hisoblanadi.


Eyler usuli. [a,b] kesmada
y’=f(x,y)
differensial tenglamaning
y(a)=x₀
boshlanѓich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab etilsin.
Eyler usulining mohiyati [a,b] kesmani n ta oraliqqa ajratamiz, ya’ni
x_i=a+ih=x_i-1+h, (x₀=a)
nuqtalarni hosil qilamiz, bu yerda h=(b-a)/n

Funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini ushbu formula

y_i=y_i-1+hf(x_i-1,y_i-1)
bilan hisoblanadi.
Misol. tenglamaning [0,1] kesmada u(0)=1 boshlanѓich shartni qanoatlantiruvchi yechimining taqribiy qiymatlar jadvalini tuzing.
Yechish. n=10, h=0,1 bo‘lsin. Ushbu formuladan
,
y_i ning qiymatlari topiladi, i=1,10.

i	xi	yi	f(xi,yi)	f(xi,yi)h
0	0	1	0	0
1	0,1	1	0,05	0,005
2	0,2	1,005	0,1005	0,0100
3	0,3	1,0150	0,1522	0,0152
4	0,4	1,0303	0,2061	0,0206
5	0,5	1,0509	0,2627	0,0263
6	0,6	1,0772	0,3232	0,0323
7	0,7	1,1095	0,3883	0,0388
8	0,8	1,1483	0,4593	0,0459
9	0,9	1,1942	0,5374	0,0537
10	1,0	1,2479

Aniq yechim: , , , , u(0)=1, S=1, , .
Differensial tenglamani Eyler usulida yechish uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko‘rinishi:
program eyler; uses crt;
var a,b,y:real; n:integer;
function f(x,y:real):real;
begin
f:=y-2*x*x+4*x-1 {f(x,y) funksiyasining ko‘rinishi}
end;
procedure eyler_1(a,b,y:real;n:integer);
var h,x:real; i:integer;
begin
h:=(b-a)/n;
x:=a;
writeln('x=',x:6:2,' y=',y:8:4);
for i:=1 to n do
begin
y:=f(x,y)*h+y;
x:=x+h;
writeln('x=',x:6:2,' y=',y:8:4);
end;
end;
begin
clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('n='); read(n);
write('y0='); read(y);
eyler_1(a,b,y,n);
end.
Topshiriq.
1-masala. Ќuyidagi Koshi masalalarini Eyler usulida yeching (n=10; h=0.1).
1. y’=2x-e^-x+1, y(0)=1 2. y’=2xsinx+x²cosx, y()=0
3. y’=e^x+y, y(0)=1 4. y’=x+1-y, y(0)=1
5. y’=e^x+y, y(0)=0 6. y’=(x+1)²-y, y(0)=1