1-Ma’ruza. Diskret tuzilmalar, ularga misollar

1-Ma’ruza. Diskret tuzilmalar, ularga misollar.
Matematika moddiy olamni abstrakt tarzda aks ettiradi, ammo bu matematika haqiqiy olamdan ajralib qolgan, degan gap emas. Matematikaning taraqqiyoti, uning nazariy fizika, kvant mexanikasi, axborot texnologiyalari va boshqa fanlarga samarali tatbiqi matematikada yangi yo’nalishlar paydo bo’lishi va takomillashishiga olib kelayapti.

Xususan, diskret matematika ham ana shunday yo’nalishlardan biri bo’lib tabiat yoki biror ob’ektda kechayotgan jarayonni o’rganishda vaqtning yoki ob’ektning ma’lum bir diskret nuqtalaridagi xolatidan tahlil qilish ma’qulligidan kelib chiqqan. Diskret so’zining matematikadagi ma’nosi ajralgan sifatida olinsa haqiqatga mos keladi. Fikrimizni izohi sifatida bir misolni olamiz. Natural sonlar to’plami _ da 3 sonining chapdan qo’shnisi 2, o’ngdan qo’shnisi 4 ekanini va bu sonlar orasida boshqa butun son yo’q ekanligini bilamiz. Shuningdek boshqa turdagi to’plamlarda ham to’plam elementlarini nomerlash mumkin bo’lsa, masalan ko’chadagi uylar nomeri, gurux jurnalidagi talabaning tartib nomeridan bu to’plamlar ham diskret xarakterga ega ekanligini ko’ramiz. Fikrimiz to’liq bo’lishi uchun diskret bo’lmagan to’plamga misol keltiramiz. Masalan (0:1) kesmadagi haqiqiy sonlar to’plamini oladigan bo’lsak va undagi 0,5 sonini olsak, uning shu to’plamga taalluqli chapdan yoki o’ngdan yon qo’shnisini ko’rsating desa buning iloji yo’q. Xususan 0.49; 0.499; 0.4999; ... sonlari 0.5 dan chap tarafda, lekin yon qo’shnisi degan savolga javob yo’q. Chunki _ soni uchun qanday _ sonini olmaylik ular orasida hech bo’lmaganda bitta _ soni mavjud ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak (0;1) dagi haqiqiy sonlar to’plami diskret bo’la olmas ekan. Biz ushbu kursda asosan diskret to’plamlar bilan shug’ullanamiz. Nazariy jihatdan bizni o’rab turgan olam o’lchamlari yuqoridan ham, quyidan ham cheklanmagan desakda, amaliy jihatdan imorat g’ishtlardan, ximiyaviy elementlar atomlardan tuzilganligini bilamiz. Shuning uchun ham _ deb uzluksiz modelga o’tish doimo ham samarali bo’lavermas ekan. Masalan axborot texnologiyalarida raqamli tizimga o’tish bunga yorqin dalil bo’ladi. Hech kimga sir emas, hozir barcha axborotlar u kitob bo’ladimi, kino filim bo’ladimi, qo’shiq bo’ladimi, yoki kimnidur dil so’zlari bo’ladimi barchasi raqamlashtirilib, biror fleshkagami yoki kompyuter xotirasiga yozib qo’yiiladi. Kerak paytda uni ekran orqali ko’rishimiz va eshitishimiz mumkin. Bunda kompyuter, telefon, televizor tarkibiga kiruvchi signal protsessori efirdan kelayotgan analogli signallarni raqamli ko’rinishdan yana tabiiy signal ko’rinishga qaytaradi va biz ovozni eshitamiz, tasvirni ko’ramiz. Buni multfilimlarni yaratishdagi an’anaviy usulda ko’rishimiz mumkin. Multiplikator – rassomlar chizgan minglab rasmlar ketma – ketligi ekranda ma’lum tezlikda o’tkazilganda real vaqtda kechayotgan jarayon gavdalanadi, ovozlar eshitiladi. Aslida esa bu diskret vaqtlar _ paytiga mos keluvchi tasvirlar ketma – ketigidan iborat edi. Bu xolat so’ngi yillarda multfilmlarni ham rassomlar emas, kompyuter yordamida dasturiy asosida yaratish imkoniyatini beradi.

Shunday qilib diskret matematika yo’nalishi paydo bo’ldi va uning bir tarmog’i diskret tuzilmalar (strukturalar) elementlariga extiyoj kelib chiqdi. Biz bu yerda vaqtincha real ob’ekt va jarayondan chetlashgan holda asosiy tushunchalar va ularning tariflarida to’xtalamiz.

Agar ma’lum bir _ to’plam elementlari uchun amal va bu amal xossalari kiritilgan bo’lsa uni matematik tuzilma deymiz. Agar to’plam elementlari diskret xarakterga ega bo’lsa diskret tuzilma deymiz. Biz bu yerda to’plam sifatida ma’lum bir belgiga nisbatan ajratilgan elementlar jamlanmasini tushunamiz. To’plam elementlari turli – tuman sifatlarga, nafaqat matematik xususiyatlariga ega bo’lishi mumkin. Masalan natural sonlar to’plami _ guruxdagi talabalar to’plami, xirmondagi tarvuzlar to’plami, alifbodagi harflar to’plamini ko’rishimiz mumkin. To’plam elementlari orasida binar munosabat (amal) kiritilgan bo’lib u bo’ysinadigan shartlar (aksiomalar) berilgan bo’lsin. U holda to’plamda tuzilma aniqlangan deymiz. Kiritilgan amal va uning xossalari asosida tuzilmaning aksiomatik nazariyasini yaratish mumkin. Matematik tuzilmalar (strukturalar) ni asosan uchta turga bo’lish mumkin: algebraik tuzilmalar, tartib tuzilmalari, topologik tuzilmalar.

Algebraik tuzilmalar _ to’plam elementlari uchun har qanday ikki elementga mos keluvchi uchinchi elementni bir qiymatli aniqlash usuli berilsa buni kompozitsiya qonuni deyiladi. Kompozitsiya qonuni aniqlangan tuzilma algebraik tuzilma deyiladi.

Ortiqcha izohlarsiz algebraik strukturalarga misollar keltiramiz. Umumiyatni saqlash uchun amal belgisi sifatida dan foydalanamiz.