1-ma’ruza: Gamma va Beta funktsiyalar va ularning xossalari, ular orasidagi bog`lanish. Reja

3..Beta va gamma funksiyalar orasidagi bog`lanish.
Biz quyida B ( b) va funksiyalar orasidagi bog`lanishni ifodalaydigan formulani keltiramiz .
Ma’lumki, G ( ) funksiya (0, + ) da. B ( ) funksiya esa fazodagi
M = {(a, b) : , b to`plamda berilgan.
Teorema. uchun
B(
formula o`rinlidir.
Isboti. Ushbu

gamma funksiya o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:
x=(1+t)y (t>0).
Natijada quyidagiga ega bo’lamiz :
=

Keyingi tengikdan quyidagini topamiz.

Bu tenglikning har ikki tomonini ga ko`paytirib, natijani (0, + ) oraliq bo`yicha integrallaymiz:

Agar formulaga ko’ra.

ekanligini inobatga olsak, unda

bo’ladi. Endi tenglikning o’ng tomonidagi integral ga teng bo’lishini isbotlaymiz.
3.3 Natijalar.
1-natija. α 0.1) uchun
=
bo`ladi.
Haqiqatan ham formula (0< <1) deyilsa, unda

bo`lib. B( . 1- )= (0< <1) va G(1)=1 munosabatlarga muvofiq

Odatda = formula keltirish formulasi deb ataladi.
Xususan, = shunda deb olsak, unda

bo`lishini topamiz.
2-natija. Uchun

formula o’rinlidir. Shuni isbotlaymiz,
munosabatda deb

bo’lishini tipamiz. So’ngra

integralda almashtirishni bajarib,
B
ga ega bo’lamiz. Natijada

bo’ladi.
Yana B( formulaga ko’ra

bo’lib, (**) munosabatdan

ekanligi kelib chiqadi. Demak,

Odatda

formula Lejandr formulasi deb ataladi.