1-ma’ruza. Koordinatalar usuli. Reja: Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi

1-ma’ruza. Koordinatalar usuli.

Reja:

1. Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi

2. 
   To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi almshtirish
   
3. 
   Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa
   
4. 
   Kesmani berilgan nisbatda bo’lis
   
5. 
   Uchburchak va ko’pburchak yuzini toppish
   
6. 
   Nazorat savollari va mashqlar
   

TEKISLIKDAGI ANALITIK GEOMETRIYANING ASOSIY TUSHUNCHALARI
§ 1. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi va uning oddiy masalalarga tadbiqi

1. 
   Tekislikda nuqtaning to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidagi kordinatalari
   

Nuqtaning tekislikdagi koordinatasi deb, uning tekislikdagi holatini aniqlavchi songa aytiladi. Tekislikda to’g’ri burchakli dekart(fransuz matematigi Dekart nomi bilan atalgan) koordinatalari quyidagicha kiritiladi.
Tekislikda ixtiyoriy (koordinata boshi) nuqtani tanlaymiz va undan o’zaro perpendikulyar bo’nalgan va (koordinata o’qlari) to’g’ri chiziqlarini o’tkazamiz (1-chizma). Qulaylik uchun (abssisa o’qi) gorizantal va chapdan o’nga yonalgan, (ordinata o’qi) esa vertical va gfstdan yuqoriga yonalgan. Bundan tashqari uzunlikni o’lchash ucgun, birlik o’lchavi tanlangan.

Tekislikdagi har bir nuqtaga juft sonni mos qo’yamiz, bu erda absissa va ordinatalar quyidagich aniqlanadi. nuqtadan o’tib koordinata o’qlariga parallrl bo’lgan to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Ular -abscissa o’qini nuqtada, -ordinata o’qini esa nuqtada kesib o’tadi.

nuqtaning abssisasi deb koordinata boshi nuqtadan nuqtagacha bo’lgan masofaning absolyut qiymati songa aytiladi, agar nuqta koordinata boshidan o’gda g’olasa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi.
nuqtaning ordinatasi deb koordinata boshi nuqtadan nuqtagacha bo’lgan masofaning absolyut qiymati songa aytiladi, agar nuqta koordinata boshidan yuqorida g’olasa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi.
Tekislikda absissa va ordinatalar nuqtaning holatini to’liq aniqlaganligi uchun uning koordinatalari deyiladi, haqiqatdan ham: har bir sonlar juftiga tekislikda koordinatalari shu sondan iborat yagona nuqta mos keladi; aksincha, har qanday tekislik nuqtasiga aniq koordinata mos keladi.
Absissasi va ordinataai bo’lgan nuqta quyidagicha belgilanadi: .
va o’qlari tekislikni kvadranlar deb ataluvchi to’rta qisimlarga ajratadi. Kvadrantlardagi nuqtalarning koordinatalarining ishoralari: - kvadrantda ; - kvadrantda ; - kvadrantda ; - kvadrantda (1-chizma).
Abssisa o’qidagi nuqtaning ordinatasi nolga teng, ordinata o’qidagi nuqtaning esa abssisasi nolga teng. Agar nuqta koordinata bodhi bilan ustma-ust tushsa, u holda uning ikkala koordinatasi ham nolga teng.
va kordinatalar yuqoridagi usul bilan kiritilgan tekislikni – deb belgilaymiz.
Koordinata boshini nuqta bilan birlashtiruchi kesmani nuqtaning radius-vektori deyiladi va simvol bilan belgilanadi. o’qi bilan radius-vektori orasidagi musbat burchakni bilan, bilan esa radius-vektorining uzunligini belgilaymiz, kvadranta yotgan nuqta uchun quyidagi formula o’rinli:
. (1)
Osonlik bilan ko’rish mumkinki, (1) formula barch kvadrantlar uchun ham o’rinli. Sunday qilib, mos kvadrantlarda nuqta abssisaai ning ishorasi kosinus ishorasi bilan, ordinatasi esa sinus ishorasi bilan ustma-ust tushar ekan.
1-misol. nuqtalar berilgan. Bu nuqtalar qaysi kvadrantlarda yotishini aniqlang.
Echish. Bu nuqtalar mos ravishda kvadrantlarda yotadi.
2-misol. tekislikda abssisasi shartni qanoatlantiruvchi to’g’ri chiziqlarni aniqlang.
Echish. Misol shartini qanoatlantiruvch nuqtalar va koordinatalarga ega. Shu sababli bu nuqtalar o’qqa parallel va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqlardan iborat.
Bundan keyin to’g’riburchakli dekart koordinatalar sistemasini qisqacha to’g’riburchakli koordinatalar sistemasi deb ataymiz.

1.2. To’g’riburchakli koordinatalar sistemasibi almashtirish

Ba’zi masalalarni echishda berilgan to’g’riburchakli koordinatalar sistemasi o’rniga boshqa ma’lum ma’noda birinch sistemaga niabatan olingan to’g’riburchakli koordinatalar sistemasini qarash qulay bo’ladi. Masalan, planetalararo harakatni geossentrik (markazi erda bo’lgan) sistemadan foydalanish mumkin, ammo qulayroq bo’lgan geliossentrik (markazi quyshda bo’lgan) sistemadan foydalaniladi.
Savol tug’iladi, bir sistemadan ikkinch sistemaga qanday o’tiladi?
Koodinatalar sistemasini o’zgartirishning ikki holi mavjud: koordinatalar sistemasini parallel ko’chirush, koordinatalar sistemasini burish. Bu hollarni qarab chiqamiz.
Koordinatalar sistemasini parallel ko’chirush. Bu holda koordinatalar boshi tekislikning boshqa nuqtasiga ko’chirilgan va koordinata o’qlarining yo’nalish o’zgarmagan (2-chizma).
Faraz qilaylik, yangi koordinatalar sistemasining boshlang’ich nuqtasi “eski koordinatalar sistemasida” kordinatalarga ega bo’lsin. Unda tekislikning “eski koordinatalar sistemasida” kordinatalarga ega bo’lsin niqtasi yngi koordinatalar sistemasida qandaydir kordinatalarga ega bo’ladi.