1-ma’ruza: Tasodifiy vektorlar. Tasodifiy vekor komponentalarining taqsimotlari. Korrelyatsiya koeffitsienti va uning хossalari

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari

Ikki o‘lchovli t.m. taqsimot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.

• 
  Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har bir jufti uchun va hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan F(x,y) funksiyasidir: ya’ni
  

. (1)
(3.) tenglikning geometrik tasviri 1-rasmda keltirilgan.

1-rasm.
(X,Y) ikki o‘lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali aniqlanadi:
. (2)
Ikki o‘lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari:
1. taqsimot funksiya chegaralangan: .
2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar bo‘lsa, ,
agar bo‘lsa, .
3. funksiyaning biror argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda funksiya nolga teng, .
4. Agar funksiyaning bitta argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda
; . (3)
4^'. Agar ikkala argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda
5. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni , .
Isboti. 1. ehtimollik bo‘lgaligi uchun 2. argumentlarning birortasini kattalashtirsak, 21-rasmda bo‘yalgan D soha kattalashadi, demak bu sohaga (X,Y) tasodifiy nuqtaning tushishi ehtimolligi kamaymaydi.
3. hodisalar va ularning ko‘paytmasi mumkin bo‘lmagan hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtimolligi nolga teng.
4. muqarrar hodisa bo‘lgani uchun bo‘ladi. Demak, . Xuddi shunday .
4^'. va hodisalar muqarrar hodisalar bo‘lganligi uchun ham muqarrar hodisa bo‘ladi va bu hodisaning ehtimolligi 1 ga teng. ■
taqsimot funksiya yordamida (X,Y) t.m. biror sohaga tushishi ehtimolligini topish mumkin:

(4)
2-rasmda (4) tenglikning geometrik isboti keltirilgan.

2-rasm.
2-misol. 1-misoldagi (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning hamda X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini toping.
Bir o’lchovli taqsimot funksiyadan:


(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning taqsimot funksiyasini (2) formulaga ko‘ra topamiz:

Y X
	0	0	0
	0
	0