1-ma’ruza: tebranma harakatlar reja: Tebranma harakat haqida tushuncha

1-MA’RUZA: TEBRANMA HARAKATLAR 

REJA: 

1.  Tebranma harakat haqida tushuncha 

2.  Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi 

3.  Garmonik tebranma harakat energiyasi 

4.  Matematik, fizik, prujinali mayatniklar va tebranish kontur 

5.  Tebranishlarni qo‘shish 

6.  So‘nuvchi mexanik tebranishlar 

7.  Majburiy mexanik tebranishlar 

 

 

Vaqt  o‘tishi  bilan  takrorlanuvchi  harakat  yoki  fizik  jarayonlar  tebranishlar  deb  ataladi. 

Tabiatda  va  texnikada  tebranma  harakatlar  keng  tarqalgandir.  Misol  uchun  soat  mayatnigining 

tebranishi,  o‘zgaruvchan  elektr  toki  va  boshqalar.  Shuning  uchun  tebranma  harakatlarning  fizik 

tabiatiga  qarab  ularni  mexanik,  elektromagnit  va  boshqa  tebranishlarga  ajratish  mumkin.  Ammo 

tebranma harakat yoki jarayonlar turli bo‘lishiga qaramay, ularning barchasi umumiy qonuniyatlar 

asosida yuzaga keladi. 

 

Sodda garmonik harakatda jismning tezlanishi uning muvozanat holatidan jism holatigacha 

bo`lgan masofaga to`g`ri proparsional bo`ladi. 

 

Jism  yoki  fizik  jarayon  muvozanat  vaziyatiga  ega  bo‘lishi  zarur  va  uni  shu  holatidan 

chiqarish  va  avvalgi  vaziyatiga  qaytaruvchi  kuchlar  mavjud  bo‘lishi  kerak.  Agar  jism  dastlab 

olgan  energiyasi  hisobiga  muvozanatdan  chiqib,  tashqi  kuch  bo‘lmagan  holatida  o‘z 

tebranishlarini  ancha  vaqt  amalga  oshirib  tursa,  bunday  tebranishlar 

erkin 

yoki

  xususiy 

tebranishlar

 deb ataladi. Ular orasida eng sodda ko‘rinishi 

garmonik tebranishlardir

. 

 

Garmonik  tebranishlarda  tebranuvchi  kattaliklar  vaqt  o‘tishi  bilan  sinus  yoki  kosinus 

qonuniyatlariga bo‘ysungan holda o‘zgarishi kuzatiladi: 

,                              (1) 

bu  yerda  u  –  tebranuvchi  kattalik,  A  -  tebranuvchi  kattalikning  amplitudasi    (maksimal  siljishi), 

 - doiraviy yoki tsiklik chastota, 



  t = 0 vaqtdagi tebranishning boshlang‘ich 

fazasi, 

.  t – vaqtdagi tebranish fazasi. 

 

)

(

0











t

Sin

A

y







2

2

0





T







t

0

 

Oldindan aytib o`tilgan ma`lumotlar asosida, siz tebranayotgan jism harakatining 

grafigini chiza olish imkoniyatiga ega bo`lasiz. 

 

Garmonik tebranuvchi tizimning ayrim holatlari 

tebranish davri

 deb ataluvchi - T vaqtdan 

so‘ng takrorlanib turadi. Bu davr ichida tebranish fazasi 2



 ga o‘zgaradi, ya’ni: 

 

 

Bu yerdan tebranish davri quyidagiga teng bo‘ladi: 

 ,                                         (2) 

Tebranish davriga teskari bo‘lgan kattalik, birlik vaqt ichidagi to‘la tebranishlar sonini belgilaydi 

va u 

tebranishlar chastotasi

 deb ataladi: 

 ,                                           (3) 

Chastota birligi Gerts hisoblanadi va 1 Gerts - 1 sekund davomida 1 tsikl tebranish sodir bo‘lishini 

ko‘rsatadi. 

 

Garmonik  tebranishlarga  bir  misol  keltiramiz.  M    nuqta  A  radiusli  aylana  bo‘ylab 

 burchak tezlik bilan tekis harakatlanayotgan bo‘lsin (1 -rasm). Harakat boshlanishida, t 

= 0  da     

 

 

1 - rasm. Moddiy nuqtaning aylana bo‘ylab harakati. 

 

 

nuqta    M

0

    holatda    deb hisoblaymiz.   Shu   nuqtaga     o‘tkazilgan          A = 0M

0

  aylananing 

radiusi      M      nuqtaning      burchak      tezligiga      teng    tezlik  bilan  ko‘rsatgich        yo‘nalishida    











2

)

(

)

(

0

0











t

T

t

0

2







T

T

1





T





2



aylanadi.    Agar    t = 0   da    radius gorizontal     o‘q   bilan   



  burchak   hosil  qilgan  bo‘lsa,  t 

vaqt o‘tgandan   so‘ng esa   (



 t + 



)   qiymatga   ega    bo‘ladi.   M nuqta aylana   bo‘ylab  



  

burchak   tezlik bilan harakatlanganda uning tik diametrga proektsiyasi N aylana markazi atrofida 

garmonik tebranishlar hosil qiladi. 

 

N nuqtaning tik diametr bo‘yicha siljishi yoki tebranishi sinus qonuni bilan ifodalanadi: 

,                               (4) 

bu  yerda 

u

  –  M  nuqtaning  tik  diametrga  proektsiyasi  N  nuqtaning  0  aylana  markaziga  nisbatan 

holatidir va 

tebranuvchi kattalik

 hisoblanadi. 

 

M nuqtaning 0X o‘qqa proektsiyasi ham shunday qonun asosida tebranadi: 

 

(4) – ifodada t ni t + T bilan almashtirib, 

  ga tengligini hisobga olsak,  M nuqtaning tik 

diametrga  proektsiyasi  N  ni  0  nuqta  atrofidagi  tebranish  qiymatiga  ega  bo‘lamiz  va    x  siljish 

kattaligining davriy ravishda o‘zgarishini kuzatamiz. 

 

 

Bu grafik soyaning orqadan oldinga bir martta to`liq aylanib chiqqanligini ko`rsatadi

. 

 

Gorizontal  o‘q  bo‘yicha  vaqtning  o‘zgarishini,  vertikal  o‘q  bo‘yicha  esa  siljishining 

o‘zgarishini  keltirsak,  siljishning  o‘zgarishini  grafik  ravishda  tassavur  qilish  mumkin.  Natijada 

sinusoida qonuniyatini kuzatamiz            (2 - rasm).  

Bu  yerda  istalgan  vertikal  AV  kesma  shu  vaqtdagi  siljishni  ko‘rsatadi,  A

1

V

1 

– 

amplitudaning maksimal qiymatini, T – tebranish davrini ko‘rsatadi. 

 

 

2 - rasm. Moddiy nuqtaning aylana traektoriyasidagi holatini   u  o‘qiga proektsiyasining 

garmonik tebranishi. 

 

)

sin(









t

A

y

)

cos(









t

A

х

T





2



 

Garmonik  tebranishlarning  grafik  tasvirlash  usullaridan  yana  biri 

vektor  diagrammalar

 

usuli hisoblanadi (3 - rasm). 

 

0  nuqta  atrofida 

  o‘zgarmas  burchak  tezlik  bilan  aylanayotgan,  miqdor  jihatdan 

o‘zgarmas A amplitudaga teng bo‘lgan vektorni tasavvur qilamiz. Istalgan t vaqtdagi A vektorning 

vertikal  o‘qqa  proektsiyasi  siljishga  tengdir,  gorizontal  o‘q  bilan  hosil  qilgan  burchagi  esa 

tebranishning fazasini bildiradi. 

 

 

3 - rasm. Garmonik tebranishning vektor diagramma orqali grafik tasviri. 

 

 

N  nuqtaning  siljishini  t  vaqt  ichidagi  bosib  o‘tgan  yo‘li  deb  hisoblasak,  t  vaqtdagi  uning 

tezligi quyidagiga teng bo‘ladi: 

,                     (5) 

Tezlanishni ham shunday aniqlaymiz: 

 ,            (6) 

 

Shunga e`tibor beringki, maksimum tezlanish soya o`zining maksimum 

amplitudasida bo`lgan  paytda yuzaga keladi va tezlanish markazga intilgan bo`ladi. 

 

Garmonik  tebranayotgan  nuqtaning  tezlanishi  siljishga  proportsional  bo‘lib,  ishorasi 

yo‘nalishga  teskaridir.  (1)  -,  (5)  -  va  (6)  -  ifodalar  garmonik  tebranishning 

kinematika 

qonunlaridir

 (4 - rasm).  

 

(6)  -  ifodaning  ikki  tarafini  tebranayotgan  nuqtaning  massasiga  ko‘paytirsak, 

garmonik 

tebranish dinamikasining qonuniga

 ega bo‘lamiz. 

 

Vektor ko‘rinishda quyidagicha ifodalanadi: 

0



)

cos(















t

A

dt

dy

y

t

A

dt

d

a

2

2

)

sin(























 ,     (7) 

 

Garmonik tebranayotgan jismga qo‘yilgan kuch siljishga teskari yo‘nalgan bo‘lib, u jismni 

muvozanat holatiga qaytarishga intiladi, shu sababli bu kuch - 

qaytaruvchi kuch

 deb ataladi. 

 

 

4 - rasm. Garmonik tebranish kinetik parametrlarining vaqtga bog‘liq o‘zgarishlari. 

 

 

 

Kuchning siljishga bog‘liqligi deformatsiya ta’siridagi elastik kuchni eslatgani uchun, uni 

goh paytda 

kvazielastik kuch

 deb ham  ataladi. O‘z navbatida kvazielastik kuchlar tortishish  yoki 

elastik  kuchlar  kabi    konservativ  kuchlarga  o‘xshaydilar.  Shu  sababli,  garmonik  tebranayotgan 

jismlarning  to‘la  mexanik  energiyasi  o‘zgarmasdir,  ya’ni  energiyaning  saqlanish  qonuniga  amal 

qiladi 

,                                   (8) 

  

Garmonik  qonuniyat  bilan  tebranayotgan  jismning  kinetik  energiyasi  quyidagicha 

ifodalanadi: 

,                        (9) 

 

Kinetik  energiya  maksimal  qiymatga  ega  bo‘lganida  potentsial  energiya  U  nolga  teng 

bo‘ladi. U holda to‘la energiya 

 

ga teng bo‘ladi. Boshqa vaqtlarda potentsial energiya shunday ifodalanadi: 

,  (10) 

Dinamikaning  ikkinchi  qonunidan,  tebranayotgan  jismlar  uchun  quyidagi  ifodani  o‘rinli  deb 

hisoblasa bo‘ladi: 

y

m

t

A

m

a

m

F

2

2

)

sin(

























const

U

T

E







2

)

(

cos

2

2

2

2

2















t

A

m

m

T

2

2

2

A

m

E





2

)

(

sin

2

)

(

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2





























t

A

m

t

A

m

A

m

T

E

U

 ,           

 ,        (11) 

Bu  ifoda  garmonik  tebranishlarning  differentsial  tenglamasi  deb  ataladi.  Uning  yechimi     

   dan iboratdir.

  

 

Prujinali mayatnik 

 

Garmonik  tebranma  harakat  qiluvchi  tizimlarga  misol  tariqasida  turli  ko‘rinishdagi 

mayatniklarni  keltirish mumkin. 

 

Prujinali mayatnik

 – yuqori tarafi qo‘zg‘almas etib qotirilgan  spiralli prujinaning pastiga 

ilingan m – massali yukchadan iboratdir (5 - rasm). 

 

 

 

 

5 - rasm. Prujinali mayatnik. 

 

Prujinaning  massasi  yukchaning  massasidan  juda  kichik  deb  hisoblanadi.  Shuning  uchun 

uning massasi hisobga olinmaydi. 

Yukcha  a  holatda  bo‘lganida,  yukning  og‘irligi  bilan  cho‘zilgan  prujinaning  elastiklik 

kuchi muvozanatda ekanligini e’tiborga olamiz 

 

Agar  spiralli  prujinani  cho‘zib,  yukchani  V  nuqtaga  siljitib  qo‘yib  yuborsak,  u  holatda 

yukcha yuqori va pastga qarab tebrana boshlaydi. Demak, t vaqtda, yukcha V nuqtada bo‘lganida 

yukchaga ta’sir etuvchi kuchni quyidagicha ifodalaymiz: 

,                          (1) 

Bu yerda k – prujinaning elastiklik kuchi, u yukning siljishiga (u) ga  proportsionaldir. 

 

Prujinali mayatnikning oddiy garmonik harakatining davrini T desak, u 2 pining m ni k ga 

nisbatidan olingan ildiziga ko'paytmasiga teng. 

y

m

dt

y

d

m

ma

F

2

2

2











0

2

2

2





y

dt

y

d



)

sin(











t

A

y

ky

F





 

Agarda  prujinali  mayatnikning  garmonik  tebranishini  hisobga  olsak,  (1)  -  ifodani  (4)  – 

ifoda bilan solishtirib quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: 

 

,           (2) 

Prujinali mayatnikning tebranish davri  

,     (3) 

ga teng bo‘ladi. 

 

 

Biz mg/L qiymat k yoki m ning k ga nisbati L ning g ga nisbatiga teng ekanligini keltirib 

chiqardik. 

Fizik mayatnik 

 

Fizik      mayatnik      –

  bu    og‘irlik    markazi    S  nuqtadan  o‘tgan,  0  o‘q  markazi  atrofida 

tebranadigan jismdan iboratdir  (6 - rasm). 

 

Bu  yerda  0  –  tebranish  o‘qi  markazi,  S  –  tebranayotgan  m  –  massali  jismning  og‘irlik 

markazi, mg – jismning og‘irlik kuchi, 

 – fizik mayatnikning yelkasi. 

 

Agar mayatnik kichik 



 burchakka og‘dirilsa, mayatnikka qo‘yilgan kuch momenti 

,                        (1) 

 

6 - rasm. Fizik mayatnik. 

y

k

y

m

t

A

m

a

m

F





























2

2

)

sin(









2

2

2

4

T

m

m

k









k

m

T



2

























mg

mg

M

sin

 

ga teng bo‘ladi. Aylanma harakatning asosiy qonunini 

,                                         (2) 

(1) – ifodaga tenglashtirasak, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz 

 

,                                  (3) 

 

Bundan fizik mayatnikning tsiklik chastotasi 

 

ga  teng  bo‘linishi  ko‘rinib  turibdi.  Fizik  mayatnikning  tebranish  davrini  quyidagicha  ifodalash 

mumkin: 

 

,                                   (4) 

 

 

Matematik mayatnik 

 

 

Matematik  mayatnik  –

  og‘irligi  hisobga  olinmaydigan, 

  uzunlikdagi  cho‘zilmaydigan 

ipga osilgan m massali moddiy nuqtadir  (7 - rasm).  

 

 

 

7- rasm. Matematik mayatnik. 

2

2

dt

d

I

M

















mg

dt

d

I

2

2

0

2

2









I

mg

dt

d



I

mg







mg

I

T



2





 

Ammo kuting!  Matematik mayatnikning harakati garmonik tarzda bo’lishida 

alohida holat mavjud. 

U  fizik  mayatnikning  xususiy  holidir.  Ip  vertikal  o‘qdan  kichik 



  burchakka  siljitilsa,  m 

massali moddiy nuqtaning inertsiya momenti 

. 

ga teng bo‘ladi.  (48.4)  - ifodaga inertsiya momenti qiymatini  qo‘ysak, matematik mayatnikning 

tebranish davri ifodasiga ega bo‘lamiz: 

 

,             (1) 

 

 

Matematik mayatnikning tebranish davri T  L ning g ga nisbatidan olingan kvadrat 

ildizining 2 pi ga ko'paytmasiga teng bo’lishini topamiz. 

2



m

I



g

mg

m

mg

I

T















2

2

2

2







Elektromagnit tebranishlar 

 

S    kondensator  va  L  induktivlikdan  tashkil  topgan  yopiq  elektr  zanjirida  yuz  beradigan 

zaryad, kuchlanish va toklarning tebranishlarini kuzatamiz. 

Eng sodda tebranish konturi 8 - 

rasmda keltirilgan. 

 

Berk  zanjirning  qarshiligini  hisobga  olmaymiz.  K  kalitni  1  -  holatga  ulab, 

kondensatorni U

c

 potentsiallar farqigacha zaryadlaymiz. Keyin K kalitni 2 - holatga keltirib, yopiq 

zanjir hosil qilamiz. Boshlanishda energiyaning hammasi 

 

kondensatorning elektr maydonida joylashgan bo‘ladi (93 a - rasm). 

 

8 - rasm. Eng sodda yopiq elektr zanjir. 

 

 

9 - rasm. Yopiq elektr zanjirida elektromagnit tebranishlar. 

Keyin esa kondensator L induktivlik g‘altagi orqali razryadlana boshlaydi va g‘altak ichida 

magnit  maydoni  hosil  bo‘ladi.  Kondensator  to‘la  razryadlanganda  zanjir  orqali  o‘tayotgan  tok 

maksimal  qiymatga  erishadi  va  barcha  energiya  g‘altak  ichidagi  magnit  maydoniga  joylashgan 

bo‘ladi   (9,b - rasm). 

 

 

L  induktivlik  g‘altak  qarshiligi  ortishi  bilan  tokning  qiymati  kamaya  boshlaydi,  natijada 

g‘altakda o‘zinduksiya elektr yurituvchi kuchi 

 

paydo bo‘ladi. Bu EYuK zanjirdan o‘tayotgan tokni o‘sha yo‘nalishda tiklashga intiladi. Natijada 

S  kondensator  yana  zaryadlana  boshlaydi                  (9v  -  rasm),  ammo  kondensator  qoplamalarida 

zaryadlarning ishorasi avvalgi holatiga nisbatan teskari bo‘ladi. 

2

2

c

CU

W



2

2

2

2

c

CU

LI

W





dt

dI

L

z

o





'



 

Zanjir  bo‘yicha  tok  yo‘qolganda,  S  –  kondensator  to‘la  zaryadlanib  bo‘ladi  va  barcha 

energiya kondensator qoplamalari orasidagi elektr maydoniga joylashadi. 

 

Undan  keyin  teskari  yo‘nalishda  kondensator  razryadlana  boshlaydi  va  barcha  energiya 

g‘altak  ichidagi  teskari  yo‘nalishdagi  magnit  maydoniga  o‘tadi    (9g  -  rasm).  Shunday  qilib, 

zanjirdagi elektromagnit tebranish bitta to‘la tebranish davridan o‘tadi. 

 

Kondensatordagi potentsiallar farqi 

 

ga  tengdir.  Kirxgofning  2-qonunidan  tebranish  konturidagi  elektromagnit  tebranishning 

differentsial tenglamasini topamiz 

    yoki   

 ,                    (1) 

 

Bu tenglamaning yechimi siljish tenglamasi 

 

ga  o‘xshashdir.  Faqat  “u”  tebranuvchi  kattalikni  Q  zaryadga, 



  burchak  tezlikni 

  bilan 

almashtirsak, quyidagi ifodaga 

 ,                              (2) 

ega bo‘lamiz. Kondensator qoplamalaridagi potentsiallar farqini quyidagicha ifodalash mumkin. 

 

 ,                                (3) 

(2) -  ifodadan vaqt  bo‘yicha hosila olsak, tebranish konturidagi  tokning vaqt  bo‘yicha  garmonik 

tebranish ifodasiga ega bo‘lamiz: 

 ,   (4) 

 

(2)  -,  (3)  -,  (4)  -  ifodalardan  kondensator  qoplamalaridagi  potentsiallar  farqi  va  kontur 

bo‘yicha toklar o‘zgarishi garmonik qonunlarga bo‘ysunishi, ularning tebranish chastotalari bir xil 

qiymatga  ega  bo‘lishi,  kuchlanish  va  zaryadning  fazalari  bir  xil  ekanligi  va  tokning  fazasidan 

 qiymatga orqada qolishi ko‘rinib turibdi. 

 

Agar  siklik  chastota 

  ligini  hisobga  olsak,  ideal  konturning  tebranish  davri 

quyidagiga teng bo‘ladi: 

 ,                                  (5) 

Bu ifoda 

Tomson formulasi

 deb ataladi. 

 

 

 

 

 

 

C

Q

U

c



C

Q

dt

dI

L





0

1





Q

LC

dt

dI

)

sin(











t

A

y

LC

1



















t

LC

Q

Q

1

sin

0



















t

LC

C

Q

U

c

1

sin

0





































2

sin

1

cos

0

0







LC

t

LC

Q

t

LC

LC

Q

dt

dQ

I

2



LC

1





LC

T







2

2



