1 Ma’ruza. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimlari to’g’risida tushunchalar. Xarakteristik forma

(7)

Bu erda

(8)

(5) tenglama tekshirilayotgan sohada nuqtani olamiz, va ushbu belgilashlarni kiritamiz.

,

U holda (8) forma nuqtada quyidagicha yoziladi

(9)

(6) kvadratik formani nuqtada yozib olamiz

(10)

Maxsus bo’lmagan ushbu

, (11)

affin almashtirish yordamida (10) kvadratik forma

(12)

ga keladi. Bu kvadratik formaning koeffitsientlari ham (9) formula bilan aniqlanadi.

Shunday qilib, (5) tenglamani nuqtada o’zgaruvchilar o’rniga yangi o’zgaruvchilar kiritib soddalashtirish uchun shu nuqtada (10) kvadratik formani maxsus bo’lmagan (11) chiziqli almashtirish yordami bilan soddalashtirihs yetarlidir.

2. Algebra kursida isbot qilinadiki, hamma vaqt shunday maxsus bo’lmagan (11) almashtirish mavjud bo’lib, uning yordami bilan (10) kvadratik forma quyidagi ko’rinishga olib kelinadi.

(13)

bu erda koeffitsientlar 1,-1,0 qiymatlarni qabul qiladi. Shu bilan birga masbat (manfiy) koeffitsientlar soni (inertsiya indeksi) va nolga bo’lgan koeffitsiyentlar soni (forma defekti) affin almashtirishga nisbatan invuriant, ya’ni bu sonlar faqat (10) forma bilan aniqlanib, (11) almashtirishning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmaydi.

Bu narsa (5) differensial tenglama koeffitsiyentlarning nuqtada qabul qiladigan qiymatlariga qarab, klassifikatsiya qilish imkonini beradi.

Yuqorida aytilganlarga asosan (7) tenglama

(14)

ko’rinishda yoziladi.