1-mashg’ulot. Misr va vavilonda matematika
Download 304.77 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Qadimgi Misrda matematika
- Takrorlash uchun savollar
- 2. Vavilonda (Bobil) matematika
|
1-MASHG’ULOT. MISR VA VAVILONDA MATEMATIKA 1. Qadimgi Misrda matematika 2. Vavilonda matematika taraqqiyoti.
algebra, geometriya,hisoblashlar. 1. Qadimgi Misrda matematika Dastlabki matematik qo’lyozmalar qadimgi sharq mamlakatlari Misr va Vavilonda paydo bo’lgan. Bu o’lkalarda katta yer maydonlari bo’lmagani tufayli dehqonchilik, irrigasiya, yer taxlash va o’lchash ishlari olib borishni talab etar edi. Markazlashgan davlatlarning vujudga kelishi esa qurilishni, savdoni rivojlantirishga imkon berdi. Matematik masalalar qurilish ishlarini olib borish, mahsulotlarini almashtirish va taqsimlash, maydonlarni o’lchash ishlarini olib borish, mahsulotlarni almashtirish va taqsimlash, maydonlarni o’lchash, g’alla uyumlari va uni saqlash manbalarining hajmlarini hisoblash va boshqa ishlarni tashkil etish zarurati tufayli paydo bo’la boshladi.
Misr matematikasi asosiy manbalari bo’lib Raynd va Moskva papiruslari hisoblanadi. Birinchisi, uni izlab topgan ingliz misrshunos olimi nomi bilan atalgan va Londondagi Britaniya muzeyida, bir qismi Nyu–Yorkda saqlanadi. Ba’zida uni Axmes papirusi ham deb atashadi, Axmes –Misr giksoklar tomonidan bosib olingan davrda, ya’ni eramizgacha 1800 –1600 yillarda uni qayta ko’chirgan misr mirzalaridan birining nomi. Papirus ( o’lchamlari 5, 25 x 0,33 m) 84 ta masalani o’z ichiga olgan.
Ikkinchi papirus ( o’lchamlari 5,44 x 0, 08 m )da 25 ta masala yozilgan. U ham eramizgacha taxminan 1900 yillarda giskoklar davrida matndan ko’chirilgan. Mazkur papirus A. S. Pushkin nomidagi Moskva tasviriy san’at muzeyida saqlanadi. Ikkala papirus ham dastlabki mirzalar o’qitiladigan maktablar uchun o’quv qo’llanmalari edi. Bu maktablarda amaldorlar, me’morlar va yer o’lchovchilar ham tayyorlanar edi. Matematik bilimlar o’sha davrda bilimlar orasida eng yuqori hisoblanar edi.
Qadimgi misrliklarning sanoq sistemasi o’nli bo’lib, lekin pozison emas edi. 1 dan 9 gacha bo’lgan raqamlar cho’plar bilan belgilanar edi. Bundan tashqari 10 p
ko’rinishdagi sonlar uchun belgilar mavjud bo’lgan. Kasrlardan faqat alikvot kasrlarni (ya’ni n 1 ko’rinishdagi kasrlarni) bilishar edi. Ba’zi kasrlarni belgilash uchun iyerogliflar ishlatilgan.
Ko’paytirish va bo’lish amallari ikkilantirish va qo’shishga olib kelinar edi. Masalan:
.1 28
2 56
4
112
8
224
.16
448
17 476 O’ngdagi ustunda nuqta bilan belgilanganlarini qo’shsak: 448 28
476 .Bo’lish ham ikkilantirishga olib kelinar edi. Masalan 153:17 ni hisoblash quyidagicha amalga oshirilar edi:
.1 17
2 34
4 68
.8 136
9 153 Shuning uchun 153:17 9
Qator masalalar birinchi darajali c bx ax ko’rinishdagi tenglamalarni yechishga keltirilar edi. Ko’pchilik masalalar arifmetik va geometrik progressiya hadlari yig’indisini hisoblashga bag’ishlangan edi. Bular orasida mashhur "Mushuklar haqidagi masala" bo’lib, turli davrlarda turli xalqlarda har xil shakllarda ifodalanib kelingan.
Geometrik masalalar qurilish, o’lchash va taxlash ishlari amaliyoti tufayli kelib chiqqan edi. «Uchburchak», «to’rtburchak», «figura» va «figura tomoni» kabi atamalar yo’q edi. To’g’ri to’rtburchak, uchburchak va trapesiyalar yuzalari to’g’ri qoidalar bilan hisoblangan, ixtiyoriy to’rtburchak yuzasi esa taqribiy hisoblanib, qarama - qarshi yotgan tomonlari uzunliklari yig’indilari yarimlari ko’paytmasi, ya’ni
2 2
b c a S
shaklda aniqlangan.
O’sha davr olimlari geometriya sohasida yana bir qator muim natijalarga erishganlar. Masalan, muntazam to’rtburchakli kesik piramida hajmi ) ( 3 1 2 2 b ab a V
to’g’ri formula bilan topilgan, doira yuzini topishda ham yetarlicha aniqlikka erishilgan.
Masalalar yechish usullari bilan emas mavzulari bilan sinflarga ajratilgan. Yechish hyech qanday izohlarsiz bo’lib, faqat olingan natijalarni tekshirish berilar edi.
Matematika fani birinchi darg’alari erishgan muvaffaqiyatlarni baholar ekanmiz, bizlar uchun 2x2=4 kabi o’z-o’zidan ayon natija abstrakt tafakkurning eng katta yutug’i bo’lganligini ta’kidlash joyizdir . Eramizgacha XXX yuz yilliklarda Gizada piramidalar dastasi quriladi. Mana necha asrdirki bu piramidalar insonlarni hayratga solib sukut saqlab turadi. Eramizgacha III asrda greklar olamning yetti mo’jizasi qatoriga birinchi navbatda Misr piramidalarni kiritishgan edi. Ularni o’ziga xos astronomiya va geometriyadan qo’llnma deb qarashar edi. Bu piramidalardan juda ko’p narsalarni aniqlash mumkin.
Sonlar ekvilibristikasi va g’aroyibligini hisobga olmasak - piramidalar qadimgi geometriyadan-birinchi me’morlarning qanchalik boy matematik bilimlarga ega bo’lganligini isbotlaydi. Ular qurilishlarni o’ylab, rejalashtirishlariga kirishishlari hayratda qoldiradi. Hozirgacha Xeops piramidasi me’mori tasviri tushirilgan barelyef (eramizgacha 2650 yillar) buyon saqlanib qolgan. Giza piramidalar dastasi o’lchamlari 1, 2, 5 sonlari bilan ifodalanadi, ulardan oltin kesim 2 1 5 sonini tuzish mumkin. 1, 2, 5 sonlar tomonlari uzunliklari 1:2 nisbatda bo’lgan to’g’ri to’rburchak tomonlari va diagonallarini ifodalaydi.
Amaliy va nazariy umumlashtirishlar, empirik kuzatishlar o’zaro murakkab aloqasi jarayonida funksional bog’lanish tushunchasi tarkib topa boshladi. Fizik va geometrik miqdorlar muhim ko’rinishlar orasidagi aloqalar matematik masalalar shaklida bayon etila bordi.Misrda VIII -X asrlarda algebra nazariyasini rivojlantirishda Abu Komilning xizmatlari katta bo’lgan. Al-Xorazmiyni kvadrat tenglamalar nazariyasining asoschisi deb hisoblash mumkin, uning ishlari bevosita misrlik Abu Komil tomonidan davom ettirilgan. U Al-Xorazmiyning kitobi bilan bir xil nomda “Al-jabr va val muqobala haqida kitob” risolasini yozgan. Unda tekshirishlar ikkinchi darajali tenglamalargacha olib borilgan. Abu Komilning kitobi ko’pgina misollarni qamrab olgan bo’lib, paydo bo’layotgan algebraik nazariyani amaliy jihatdan ham, abstrakt jihatdan ham ancha oldinga surdi. Bu kitob keng ommalashib, ko’pgina sharhlarga sabab bo’lgan. Abu Komil kengroq va ishonchli ravishda irrasional ifodalar ustida murakkab shakl almashtirishlardan, algebraik hisobning ko’pgina amallaridan foydalangan. Masalan, u ab b a b a 2 formuladan foydalangan. Al-Xorazmiyning ikkinchi darajali irrasional miqdorlarga nisbatan xayrihoh emasligi baratraf etilib, ularni Abu Komil sof arifmetik obyekt sifatida qo’llgan. Abu Komil bir nechta noma’lum ishlatib, ularga turlicha nomlar bergan va masalani yechish uchun bitta yordamchi noma’lumni tanlashi mumkin edi. U Al-Xorazmiyning nazariyasini ba’zi jihatlarini to’ldirdi. Abu Komilning algebraik hisobi yetarlicha yuqori abstrakt saviyaga ko’tarilgan, xususan, greklarda qabul qilingan geometrik shakllarga bog’langan bo’lsada, u Al-Xorazmiy rioya qilgan o’lchovlar bir jinsliligi klassik talabini rad etdi.
970-1170 yillar orasida arab fanining ikkinchi to’lqini Al-Xorazmiy va Abu Komil tomonidan yaratilgan algebrani yana yuqori saviyaga ko’tardi.U nazariy fan maqomiga erishdi. Bu yangilanishda ikkita turli oqim qatnashdi. Birinchisi, arifmetika va algebra chegarasida ishlab, bu har bir fanni ikkinchisining yutuqlari bilan to’ldirdi, sonlar nazariyasida topilgan sonli algoritmlarni algebraik ifodalar va amallarga o’kazishga imkon berdi. Bu juda ham zarur dialektik birlik edi. Bunda Al-Karajiy va uning davomchilari Al-Shaxrazuri va Al-Samovallarning xizmatlar katta bo’lgan. Bunga arab tiliga tarjima qilingan Diofantning “Arifmetika “ kitobi ham katta ta’sir ko’rsatdi. U Al-Karojiy maktabiga o’z ta’sirini o’tkazdi va an’anaviy arab nazariy arifmetikasiga kirib ketdi.
1.Qadimgi Misrda matematika tarixiga oid qanday manbalar saqlanib qolgan? 2.Raynd papirusidagi matematik tushunchalarni qanday izohlash mumkin?
3.Misrda arifmetik amallar ni bajarish usullarini ayting. 4.Misrda geometriya qanday rivojlangan edi? 2. Vavilonda (Bobil) matematika
Tigr va Yevfrat daryolari orasida joylashgan bu qadimgi davlat madaniyatini shumerlar yaratdilar. Ular yoyib yozish usulini topdilar va 60 lik sanoq sistemasini ishlata boshladilar. Shumer – vavilon matematikasi manbalari bo’lib toshlarga o’yib yozilgan jadvalchalar hisoblanadi. 500 000 jadvalchadan 150 tasida masalalar matni va yechimlari berilgan, har bir jadvalchada 18 tadan 100 tagacha masala bo’lib, faqat bittasi 148 ta masala shartlarini o’z ichiga olgan.
Matematik matnlarning ko’pchiligi – mirzalar maktablari yoki saroy amaldorlari tayyorlovchi maktablar uchun o’quv qo’llanmalari mashqlardan iborat edi. Ular Vavilonda Xamurapi dinastiyasi hukmronlik qilgan taxminan eramizgacha 1800-1600 yillarda yozilgan, boshqalari eramizgacha uch yuz yilliklari (selikvidlar davrida) yozilgan.
Vavilon matematikaisining buyuk yutug’i tarixda birinchi bo’lib pozision oltmishlik sanoq sistemasini yaratganligi hisoblanadi. Bu sistema ikki belgi yordamida qo’llanilar edi. Tik ishora I ni, yotiq ishora –10 ni bildirar edi. 1,2,., 58, 59 birinchi razryad birliklari bo’lib, 60 ta birinchi razryad birligi, 60 dan 60 2 gacha sonlar ikkinchi razryad birliklari va hokazo hisoblangan
Bir razryad doirasida, masalan 1 dan 59 gacha sonlarda o’nli pozision bo’lgan sistemaga amal qilinsa, har bir yuqori razryadga o’tishda esa 60 lik pozision sistemaga rioya qilinadi.
Eramizgacha V asrda falakiyot ilmi ehtiyojlari tufayli nol raqami o’rnini o’ynovchi maxsus belgi kiritilgan. Bu belgidan agar razryad o’rni bo’sh bo’lsa, ya’ni sonda bu razryad birliklari bo’lmagan taqdirda foydalanilar edi. Sonlar quyidagi tartibda yozilar, shartidangina sonni aniqlash mumkin edi. Bundan Vavilon oltmishlik sanoq sistemasi barqaror emasligi kelib chiqadi. Shunga qaramasdan bu buyuk yutuq edi. Hozirgacha besh ming yillar o’tganidan keyin ham shumerlar yaratgan 60 lik sistemasida vaqt va burchaklarni hisoblashda foydalanilmoqda.
60 lik sistemasi Vavilon hisoblash matematikasiga katta ta’sir ko’rsatadi. Ko’paytirish jadvali 1711
59 59 ta ko’paytmani o’z ichiga olar edi. Ularni eslab qolish qiyin edi, shu sababdan masalalar yechish paytida matematik jadvallardan foydalanilar edi. Bu jadvallarda sonli kvadratlari ) (
n , kublari ) (
n
sonlarning kvadrat va kub ildizlari, ko’paytirish jadvallari ) (
m , 2 2
n
ko’rinishidagi yig’indilarni hisoblash uchun jadvallar va hokazo.
Vavilonliklarda qo’shish va ayirish so’zlar bilan yozilgan bo’lsa, ko’paytirish uchun maxsus atama ishlatilar edi. Ular uchun bo’lish murakkab amal hisoblanib, b a : ni b a 1 kabi tushunar edilar. c b a : ni hisoblayotgan vaqtda ular quyidagi qoidaga amal qilar edilar: b ning teskarisini olasan va uni topib a ga ko’paytirsang c ni topasan. Shuning uchun ham ) 29 ..., , 2 , 1 , 0 ( 2 125 n m n ko’rinishdagi sonlar teskarilarini topishga mo’ljallangan jadvallar juda ko’p edi. a sonining
1 uchun qiziq atama ishlatilgan. Bunda " a dan n 1 sindirib olmoq" ta’rifidan foydalangan bo’lsalar, a ni n bo’lakka bo’lishni esa « a ni n ga sindirmoq»deb ta’rif qilganlar.
Klinopis jadvallarida arifmetik masalalar juda kam. Ularni yechish usullari proporsional bog’lanish va o’rta arifmetikni topish g’oyalariga asoslangan edi. Arifmetik va geometrik progressiyalar misrliklarga qaraganda rivojlangan edi. Ular n a a S n n 2 1 qoidani bilar edilar, geometrik progressiyaga doir turli masalalarni yecha olardilar. Xamurappi dinastiyasi davriga kelib kvadrat tenglamalar algebrasi yuqori saviyaga erishdi, yuqori darajali tenglamalarni yecha olardilar. Kvadrat tenglamaga keltiriladigan Vavilon masalalari amaliyot ehtiyojlaridan kelib chiqqan matematika nazariyasining dastlabki namunalari edi. Ikkita noma’lumdan biri x uzunlik, ikkinchisi y eni deb atalib, ularning ko’paytmasi – yuza, maydon yoki uzunlik-eni deb yuritilar edi. Kubik tenglamalarda uchinchi noma’lum
chuqurlik, xyz ko’paytmani esa- hajm deb ataganlar. Masalalar shartlarida berilgan va o’zgaruvchilar geometrik miqdorlar bilan tavsiflansada, vavilonlik matematiklar ular bilan abstrakt o’zgaruvchi miqdorlar kabi ish ko’rdilar.
Vavilonliklar faqat musbat rasional sonlarni bilar edilar va shuning uchun tenglamalar koeffisentlari shunday tanlanar ediki, tenglamalarning ildizlari musbat bo’lar edi. Yuqorida zikr etilgan manbalarda ko’pgina masalalar
q xy p y x ,
ko’rinishdagi sistemalarini yechishga keltiriladi. Shuningdek 10 , 40 1 2 2
y x yoki o’nli sanoq sistemasida
10 , 1300 2 xy y x
kabi murakkab sistemalar ham uchraydi. Qolgan sistemalar 12 4
12 ( ) 12 ( 2 3 x x tenglamani yechishga keltirilgan, ular ko’rinib turibdiki 2 3 n n shaklidagi sonlar jadvali yordamida yechilgan. Misrliklar kabi vavilonliklar geometriyani rivojlantirishga katta hissa qo’shdilar. Ular kvadrat va uchburchakni abstrakt figuralar sifatida qarasalar, to’g’ri to’rtburchakni – «uzunlik va enilikka ega» figura deb qarar edilar. Ularda «nuqta», «to’g’ri chiziq», «chiziq», «sirt», «yuza», «paralellik» va «perpendikulyarlik» kabi tushunchalar yo’q edi. Arxitektura, qurilish, harbiy ishlar va hokazolarda uchraydigan tekis yoki fazoviy figuralar elementlarini hisoblashga doir masalar qaralgan. Yechishning aniq usullari bilan birga taqribiy yechish usullari ham qo’llanilgan. Aylana uzunligini diametr uch barobari sifatida olishgan, bunda 3
aniqlikda olingan. Ana shunday aniqlikda doira yuzasi ham hisoblangan. Bunda vavilonliklar birinchi marta sonini aylana uzunligi biln bog’ladilar. Vavilon matematikasi eng buyuk yutuqlaridan biri Xamurappi davridayoq qo’llanilgan Pifagor teoremasininging kashf qilinishi hisoblanadi. Klinopis manbalarida muntazam besh va oltiburchakli shakllarning yuzalarini topish, murakkab foyizlarga doir hamda logarifmlarning ayrim hollariga oid masalalarni uchratish mumkin Shumer-vavilonliklar misrliklar kabi ilmiy taraqqiyot eng yukori cho’qqilariga chiqa olmadilar, lekin ularning xizmatlarini pasaytirib ham bo’lmaydi, chunki ular birinchilardan edilar. Download 304.77 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|