1. Matematik kutilishning xossalari. Chetlanish. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

4-xossa: Ikkita tasodifiy miqdor yig’indisining matematik kutilishi qo’shiluvchilarning matematik kutilishlari yig’indisiga teng.
M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Isboti: X va Y ning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin bo’lgan har bir qiymatiga Y ning mumkin bo’lgan har bir qiymatini qo’shamiz:





Tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi. Bu tengliklarning o’ng tomonlarini (*) munosabatga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz.

Yoki uzil kesil.
M(X+Y) = M(X)+M(Y)
Natija: Bir nechta tasodifiy miqdorlar yig’indisining matematik kutilishi qo’shiluvchilar matematik kutilishining yig’indisiga teng.
Masalan, uchta qo’shiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz
M(X+Y+Z) = M[(X+Y)+Z] = M(X+Y)+M(Z) = M(X)+M(Y)+M(Z)
Ixtiyoriy sondagi qo’shiluvchilar uchun isbot matematik induksiya metodi bilan olib boriladi.
Tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi.
Aytaylik, X-tasodifiy miqdor, M(X) uning matematik kutilishi bo’lsin. Yangi tasodofiy miqdor sifatida X-M(X) ayirmani qaraylik:
Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi.
X ning taqsimot qonunu ma’lum bo’lsin:

Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz: chetlanish x₁- M(X) qiymat qabul qilishi uchun tasodifiy miqdor x₁ qiymat qabul qilishi kifoya. Bu hodisaning ehtimoli esa p₁ gateng. Demak, chetlanishning ham x₁- M(X) qiymat qabul qilish ehtimoli p₁ ga teng. Chetlanishning boshqa mumkin bo’lgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga o’xsash mulohazalar o’rinli. Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega:

Teorema: Chetlanishning matematik kutilishi nolga teng.
M [ X - M(X) ] = 0 .
Isboti: Matematik kutilishning xossalaridan ( ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng. O’zgarmas sonning matematik kutilishi o’sha o’zgarmasning o’ziga teng.) foydalanib va M(X) o’zgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagi ifodani hosil qilamiz :
M [ X - M(X) ] = M(X) – M[M(X)] = M(X) - M(X) = 0 .
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi , ya’ni tarqoqligi deb, tasodifiy miqdorni o’zining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi. Ya’ni:
D(X) = M[X - M(X)]²
Tasodifiy miqdor quyidagi tasodifiy miqdor bilan berilgan bo’lsin:

U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:

Ta’rifga ko’ra dispersiya quyidagi ifodaga teng bo’ladi:

Dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin bo’lgan qiymatini ularning ehtimollariga ko’paytmalari yig’indisini hisoblash kifoya.