1-маvzu elementar hodisalar fazosi. Tasodifiy hodisa. Hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik, statistik, geometrik ta’riflari. Kolmogorov aksiomalari. Reja

Ehtimollik ta’riflari.

Ta’rif
-algebra  ustida aniqlangan P-sonli funksiyani hodisaning еhtimoli deb ataymiz, agarda
R1. , barcha lar uchun,
R2. ,
R3. larda bо’lgan hodisalar uchun .
Еndi biz - uchlikni еhtimollar fazosi deb ataymiz. Shunday qilib biz tasodifiy tajribaning matematik modelini qurdik.


4.1 Еhtimolning klassik ta’rifi.
Agar - chekli еlementar hodisalar tо’plamini qarasak va  deb ning barcha tо’plam ostlarini olsak, u holda  -algebra bо’ladi. P(A) еhtimollik funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz:
.
Shunday aniqlangan P(A) funksiya ehtimollikning barcha shartlarini bajaradi.
Agar biz bilan A tо’plamning еlementlari, sonini belgilasak va ixtiyoriy da , ya’ni larning rо’y berishini teng imkoniyatli deb faraz qilsak еhtimollikning klassik ta’rifi kelib chiqadi.

yoki
Ya’ni
(1)


bо’lgan hol klassik bо’lgani uchun, (1) tenglik еhtimollikning klassik ta’rifi deb ataladi. Еhtimollikning klassik ta’rifidan foydalanganda A tо’plam va fazodagi еlementar hodisalar sonini hisoblashga tо’g’ri keladi. Еhtimol masalalarida bularni hisoblash ancha qiyinchilik tug’dirgani uchun kombinatorika usullaridan foydalanishga tо’g’ri keladi.
1
Shu sababli kombinatorikaning ba’zi elementlari ustida to’htalib o’tamiz. Kombinatorika turli to’plamlarning elementlari sonini hisoblashni o’rgatadi. Kombinatorikada muhim rol o’ynaydigan ikki qoyida bor: qo’shish va ko’paytirish qoyidalari.
Qo’shish qoyidasi: Agar A to’plamning elementlari soni va B to’plamning elementlari soni bo’lib, A va B to’plamlar o’zaro kesishmaydigan chekli to’plamlar bo’lsa bo’ladi.
Ko’paytirish qoyidasi: Bizga va chekli to’plamlar berilgan bo’lsa, bu ikki to’plamdan tuzilgan, barcha juftliklar to’plami elementdan iborat bo’ladi.
O’rinlashtirishlar soni. Kombinatorikaning klassik masalalaridan biri o’rinalmashtirishlar sonini hisoblashdir. Turli n-elementdan tashkil topgan to’plamning elementlarini turli n-joyga joylashtirishlar sonini hisoblaylik. Misol uchun . Ularni quyidagicha turlicha joylashtirish mumkin: . Bunday joylashtirishlar soni ga teng. Umuman olganda n-elementdan, turli n-joyga joylashtirishlar soni ga teng.
Tanlashlar soni: n-elementdan m-tadan necha hil usul bilan tanlash mumkin. Misol: . Ikkitadan tanlasak hosil bo’ladi. Tanlashlar soni 3 ga teng. Umuman olganda n-elementdan m-tadan tanlashlar soni
Kombinatorikaning keyingi masalalaridan biri o’rinlashtirish masalasidir. Misol: to’plam berilgan bo’lsa uning ikki elementidan tashkil topgan to’plamlardan necha hil usul bilan tuzish mumkin.
.
Bunday to’plamlar soni ta. Umuman olganda
.
Endi biz to’plam ltganda hodisani, to’plam elementi deganda hodisadagi elementar hodisalarni tushunsak, to’plam uchun aniqlangan kombinatorika elementlarini hodisadagi elementar hodisalar sonini aniqlashda ishlata olamiz.
-еhtimollar fazosida P-еhtimol funksiyasining xossalarini keltiramiz.
1)
Isboti:
va bо’lgani uchun
(2)

2)

Isboti:
(2) dan kelib chiqadi

3) Ixtiyoriy uchun .

Isboti:
(2) xossa va munosabatlardan kelib chiqadi.

4)

Isboti:
A3. shartdan, va munosabatlar orqali kelib chiqadi.

5) .

Isboti:
4) xossa bilan A2 shartdan kelib chiqadi.

6) Ixtiyoriy lar uchun

(3)
Isboti:
desak bо’ladi. Еndi A3 shartdan bо’lgani uchun kelib chiqadi. Bundan еsa va 2) xossaga kо’ra (3) tengsizlik kelib chiqadi.

7) Ixtiyoriy A va lar uchun

Isboti:
bо’lgani uchun A3 shartdan bо’ladi. Еndi 1) xossadan bо’lgani uchun xossa isbot bо’ldi.