1-mavzu. Ikki va uch karrali integrallar. Ikki karrali integralning mavjudligi, xossalari Reja: Ikki karrali integralning ta’rifi

2-misol. funksiya uchun yopiq sohani to’g’ri chiziqlar bilan to’gri to’rtburchaklarga bo’lganda quyi va yuqori yig’indilarni tuzing. da yig’indilarning limitini toping.
Yechish. Elementar to’g’ri to’rtburchaklarning tomonlari va bo’lib, yuzi dan iborat .
bo’linishni qaraylik. Koordinata boshidan nuqtagacha masofa bo’lgani uchun bo’lganda .
Shuning uchun

_{Elementar hisoblashlardan so’ng quyidagini olamiz:}
ularning limitik qiymati

2-teorema. Chegaralangan to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz bo’lgan har qanday funksiya da integrallanuvchi bo’ladi.

3. Ikki karrali integralning xossalari.
1⁰. Agar bolib, funksiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda

2⁰. Chiziqlilik xossasi. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lib, va lar haqiqiy sonlar bo’lsa, u holda funksiya ham da integrallanuvchi bo’ladi hamda
.
3⁰. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyalar ko’paytmasi ham integrallanuvchi bo’ladi.
4⁰. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lib, bu sohada bo’lsa, u holda
.
5⁰. Agar funksiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda Agar funksiya ham da integrallanuvchi bo’ladi hamda
.
6⁰. O’rta qiymat haqida teorema. Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lib, funksiya bu sohaning hamma joyida manfiy (musbat) bo’lmasa, hamda va lar mos ravishda funksiyaning sohadagi aniq yuqori va aniq quyi chegaralari bo’lsa, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday son topiladiki,
(7)
formula o’rinli bo’ladi.