1-mavzu. Ikki va uch karrali integrallar. Ikki karrali integralning mavjudligi, xossalari Reja: Ikki karrali integralning ta’rifi

2. Ikki karrali integralning mavjudligi va integrallanuvchi funksiyalarning sinflari.
va funksiyaning qismiy to’g’ri to’rtburchaklardagi mos ravishda aniq yuqori va aniq quyi chegaralari bo’lsin. to’g’ri to’rtburchakning berilgan T bo’linishiga mos Darbu yig’indilarini tuzaylik: yuqori yig’indi
(3)
va quyi yig’indi
(3`)
funksiyaning to’g’ri to’rtburchakdagi barcha mumkin bo’lgan bo’linishlari uchun tuzilgan yuqori yig’indilari to’plami quyidan chegaralangandir. funksiyaning to’g’ri to’rtburchakdagi barcha mumkin bo’lgan bo’linishlari uchun tuzilgan quyi yig’indilari to’plami yuqoridan chegaralangandir.
Shunday qilib, Darbu yuqori va quyi integrallari ( funksiyadan to’g’ri to’rtburchak bo’yicha) deb ataluvchi
va (4)
sonlar mavjud bo’ladi. Ko’rsatish mumkinki, .
1-teorema. to’g’ri to’rtburchakda chegaralangan funksiyaning bu to’g’ri to’rtburchakda integrallanuvchi bo’lishi uchun songa ko’ra to’g’ri to’rtburchakda shunday bo’linish mavjud bo’lsaki, bu bo’linishga mos Darbu yig’indilari

shartni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Bu teorema isboti quyidagi Darbu lemmasidan kelib chiqadi: ( bo’linish diametri) da Darbu yuqori va quyi integral yig’indilarining limitik qiymati mos ravishda yuqori va quyi va integrallar bo’ladi.
Zarurligi. funksiya integrallanuvchi bo’lib, son berilgan bo’lsin. Integral yig’indilarning ta’rifiga ko’ra, berilgan songa ko’ra shunday son topiladiki, to’g’ri to’rtburchakdagi bo’lgan har qanday bo’linish uchun nuqtalarning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan holda
(5)
tengsizlik bajariladi. Yuqori va quyi integral yig’indilar bu bo’linishga mos bo’lgan aniq yuqori va aniq quyi integral yig’indilar bo’ladi. Shuning uchun bu bo’linishning elementidan shunday va nuqtalarni tanlab olamizki,
(6)
tengsizliklar bajarilsin. Bu integral yig’indilardan har biri (5) shartni qanoatlantirgani uchun (6) dan kelib chiqadi.
Yetarliligi. Agar songa ko’ra to’g’ri to’rtburchakda bo’lgan shunday bo’linish mavjud bo’lsa, u holda bo’ladi. orqali bu miqdorlarning umumiy qiymatini belgilaylik va integral yig’indilarning limitik qiymati ekanini ko’rsatamiz. Darbu lemmasiga asosan da yuqori va quyi integral yig’indilarning umumiy limitik qiymati boladi. Lekin biror bo’linishga mos ixtiyoriy integral yig’indi va orasida joylashganligi uchun integral yig’indilarning da limitik qiymati bo’ladi.