1-Mavzu. Kirish. Analitik geometriya fani haqida qisqacha ma’lumot

Ma' ruza rejasi:

1.Vektor koordinatalari.

2.Vektorning uzunligi.

3.Vektorning o’qqa proeksiyasi.

4.Yo’naltiruvchi kosinuslar.

vektorning yo’naltirilgan L to’g’ri chiziqqaproektsiyasi deb, shu to’g’ri chiziqdagi

yo’naltirilgan kesmaning A' B' kattaligiga aytiladi, bu erda A' va B' mos ravishda A va В nuqtalarning L chiziqqa proektsiyalaridir. Proektsiya kabi belgilanadi. L to’g’ri chiziqqa vektorning proektsiyasi а vektor uzunligi bilan vektor L to’g’ri chiziq bilan tashkil qilgan (p burchak kosinusi ko’paytmasiga teng, ya’ni.

(4.1)

To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi ortogonal va birlik bazis vektorlarga ega bo’lgan affin sistemaning xususiy holidir.

Ixtiyoriy а vektor yagona ravishda to’g’ri burchakli dekart /, j, к bazis bo’yicha yoyilishi mumkin, ya’ni har qanday а vektor uchun yagona sonlar topiladiki, quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

a=xi+yj+zk yoki a={x; y; z}. (4.2)

sonlar vektorning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari yoki komponentalari deb ataladi va ular shu vektorning mos ravishda Ox, Oy, Oz o’qlaridagi proektsiyalariga teng.

vektor Ox, Oy va Oz o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarni mos ravishda (3 va у lar bilan belgilaymiz.

sonlar vektorning yo ’naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Ko’rinib turibdiki,

, (4.5)

Bu erdan quyidagi tenglik o’rinli bo’lishi ko’inib turibdi:

(4.6)
Misol. vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini aniqlang. Echish: .

ekanligini e’tiborga olib yo’naltiruvchi kosinuslarni aniqlaymiz.

, (4.5)

Vektor tushunchasi. Vektorning uzunligi. O’zlarining son qiymati va yo’nalishi bilan aniqlanadigan miqdorlar vektorlar deb ataladi. va nuqtalar mos ravishda vektorning boshi va oxiri bo’lsin. U holda vektorning koordinatalari quyidagicha aniqlanadi.



a vektorning uzunligiga teng bo’lgan son uning moduli deyiladi va quyidagicha aniqlanadi.

a\ = yj(x, -Xj)² +(y₂-y^f +(z₂ -z,f

Agar a vektor koordinata o’qlari bilan mos ravishda a,/3 va у burchaklar hosil qilsa, u holda cosa,cos/?va cos/, a vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi va quyidagicha aniqlanadi:

[clb] = axb--= {y,z2 - у2zi; zxx2 - z2x}; x,y2 - x2y,} = x, yx z, . (6.7) 20

X, y1 z, 21

x = p cos

x = psin0cos

aAj + /M2 = ~yA ■> °A + PA + yA = 0, 100

Bu erda: x = x₂-x₁,Y = y₂ - y_bZ = z₂-

Vektorning o’qqa proektsiyasi. a vektorning U o’qqa proektsiyasi, uning moduli va U o’q

a

= ^X² +Y² +Z⁷

a

bilan tashkil qilgan burchagi (p orqali quyidagicha aniqlanadi. np, a

Ixtiyoriy a vektorning berilgan koordinatalar sistemasiga proektsiyasini X,Y,Z orqali belgilaylik. U holda a = X, Y,Z va

bo’ladi.

cos (p

1. 
   Misol. a=(6;3;-2) vektorning modulini toping.
   

Echish: Modulni topish formulasiga asosan a = д/б² +3² + (-2)² = л/36 + 9 + 4 = л/49 = 7

2. 
   Misol. A(3;-l;2) va V(-l;2;l) nuqtalar berilgan. AB vektorning koordinatalarini toping.
   

Echish: AB vektorning koordinatalarini topish uchun mos ravishda V nuqtanin koordinatalaridan A nuqtaning koordinatalarini ayiramiz. AB = (—1—3;2 — (—1);1 — 2) = (—4;3;—1)

3. 
   Misol. a = (12;—15;—16) vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini aniqlang.
   

Echish: a = д/(12² + (-15)² + (-16)² = л/144 +225 +256 = 25 . Endi x=12; y=-15; z=-16 ekanligini

e’tiborga olib yo’naltiruvchi kosinuslarni aniqlaymiz.

12 • „ 15 3 • 16

cos a = — ’ cos p = = ’ cos у =

25 25 5 25