1-Mavzu. Kirish. Analitik geometriya fani haqida qisqacha ma’lumot

Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak

Boshida L\ va L₂ to’g’ri chiziqlar у = k\x+b\ va у = k2X+b₂ burchak koeffitsientli tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

Agar ai va a₂ - L\ va L₂ to’g’ri chiziqlarning Ox o’qi bilan tashkil qilgan burchaklar, ф - esa shu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchaklardan biri bo’lsa, elementar mulohazalardan keyin

tenglik kelib chiqadi.

Shunday qilib,

[clb] = axb--= {y,z2 - у2zi; zxx2 - z2x}; x,y2 - x2y,} = x, yx z, . (6.7) 20

X, y1 z, 21

x = p cos

x = psin0cos

aAj + /M2 = ~yA ■> °A + PA + yA = 0, 100

Endi Li va L2 ikkita to’g’ri chiziqlar

x-x₁_y-y₁ _ x-x₂_y-y₂

— Vd —

^ m_x I, m ,

kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

L\ va L₂ to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak shu to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi va fl2⁼{/2;m₂} vektorlari orasidagi burchak sifatida aniqlanadi, shuning uchun (3.5) formuladan quyidagiga ega bo’lamiz:

a_]a₂ I a, lla.

cos cp =

A

тл	m2
1	1 ^9	2
'	2	+ m2
h		mx
l2		m2

i||^u2| yjl*+m{

hh+mim^O.

Nihoyat, to’g’ri chiziqlar umumiy ko’rinishdagi

AixBiyCi 0 va Ajx Bjy С2 0 tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

va П2={А₂\В₂} vektorlar bu to’g’ri chiziqlarning normal vektorlari bo’lganligi uchun to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak ularning normal vektorlari orasidagi burchak bilan barobar. Demak,

nn A, A-, + В, B-,

COS (p=- -

mⁿ2\ yjA^+B,² -^A₂+B₂ To’g’ri chiziqlarning parallelik sharti ni va n₂ vektorlarning kollinearlik shartiga ekvivalent, A В

ya’ni — = — ko’rinishga ega, to’g’ri chiziqlarning perpendikularlik sharti esa nin₂ skalyar A₂ B₂

ko’paytmaning nolga tengligidan kelib chiqadi, ya’ni A_XA₂ + B_XB₂= 0 ko’rinishga ega.

To’g’ri chiziqning normal ko’rinishdagi tenglamasi

To’g’ri burchakli koordinat sistemasida koordinata boshidan o’tmaydigan ixtiyoriy L to’g’ri chiziq va koordinata boshidan chiquvchi va L to’g’ri chiziqqa perpendikular, oxiri to’g’ri chiziqda yotuvchi a vektor berilgan bo’lsin. a vektor to’lig’icha L to’g’ri chiziqni aniqlaydi (a vektorning oxiridan unga perpendikular yagona to’g’ri chiziq o’tadi). p a vektorning uzunligi bo’lsin, ya’ni, r=|a| va n={cosa;sina}- a vektor yo’nalishiga ega bo’lgan birlik vektor bo’lsin. Bu erda a - a (yoki n) vektor bilan Ox o’qining musbat yo’nalishi orasidagi burchak. M(x,>’) orqali L to’g’ri chiziqning

—^

ixtiyoriy (joriy) nuqtasini belgilaymiz. Ko’rinib turibdiki, OM vektorning n birlik vektor yo’nalishidagi proektsiyasi r ga teng. U holda, (2.3) tengliklardan:

OM ■ n=|n|pr_nQM=r (5.8)

ni hosil qilamiz.

Bu L to’g’ri chiziqning vektorial tenglamasidir.

Agar L to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tsa, uning tenglamasi (14) ko’rinishga ega, bu erda n - unga perpendikular birlik vektor, faqat p=0. (5.8) formula koordinatalar orqali quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

x cos a +y sin a=r. (5.9)

9. 
   tenglama to’g’ri chiziqning normal ко 'rinishdagi tenglamasi deyiladi.
   

Agar L to’g’ri chiziq Ax+By+C=0 umumiy tenglama bilan berilgan bo’lsa, uni

jii = ± 1/,

/ -JA² +B²

songa ko’paytirib, normal ko’rinishga keltirish mumkin, bu erda bu sonning ishorasi С ning ishorasiga qarama-qarshi (r=- fuC > 0) qilib olinadi.

|j, son normallovchi ko'paytuvchi deyiladi. (|jA)²+(|j,V)²=1 bo’lganligi uchun yagona a (0 < a <2k) burchak mavjud bo’lib, |jA=cosa, |j,V=sina bo’ladi. Natijada (5.9) tenglamani hosil qilamiz. Bu erda: p = -//(' > 0. Eslatib o’tamizki, r son koordinata boshidan L to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaga teng.

Quyidagi masalani qaraymiz: Berkitilgan Mo(xo,yo) nuqtadan

Ax+By+C=Q. (5.10)

tenglama bilan berilgan L to’g’ri chiziqqacha bo’lgan d masofa topilsin.

Faraz qilaylikki,

—У

ОМ n-r=0 (5.11)

(5.10) tenglamaning normal ko’rinishdagi tenglamasi bo’lsin. Shunday qilib, agar CV0, r (r>0) koordinata boshi О dan chiquvchi L to’g’ri chiziqqa perpendikular a vektorning uzunligi bo’ladi, n

• 
  esa a vektor yo’nalishiga ega bo’lgan birlik vektor, r =| a |, n = —. Mix, y)-L to’g’ri chiziqning
  

P

ixtiyoriy joriy nuqtasi bo’lsin. U holda, ko’rinib turibdiki, Mo(x₀, yo) nuqtadan L gacha masofani

—У ^

topish uchun MqM = OMo-OM vektorni n vektor yo’nalishiga proektsiyalab, proektsiya kattaligining absolyut qiymatini olish kerak:

d =| pr_n MM₍₎ |=| MM₍₎■ n |=| OM_t)■ n - OM |=| OM_t) n-r \ yoki

d =| OM₍₎-n-r | (5.12)

Shunday qilib, d masofani hosil qilish uchun (5.10) tenglamani (5.11) normal ko’rinishga keltirib, chap tomondagi x, у lar o’rniga mos ravishda M₀(x₀,>’0) nuqtaning x₀, yo koordinatalarini qo’yib, hosil bo’lgan ifodaning absolyut qiymatini olish kerak.

Ko’rinib turibdiki, L to’g’ri chiziqning (5.10) umumiy tenglamasi uchun (5.12) tenglik quyidagi ko’rinishga ega:

\Ax₀+By₀+C\ ₍цлъ\