1-Mavzu. Kirish. Analitik geometriya fani haqida qisqacha ma’lumot

(15.4)
2 2 a² b²

tenglama bilan aniqlangan chiziq giperbola deyiladi.

V2 2 .

a + b bo’lsin. Ox o’qda abssissalari x=-c va x=c bo’lgan Fi va F₂ nuqtalar bilan -

4. 
   giperbolaning /r^//.vlarini belgilaymiz.
   

4. 
   giperbolani shunday M(x,_y) nuqtalarning geometrik o’rni sifatida aniqlash mumkinki, har bir M(xj’) nuqtadan Fi va F₂ fokuslargacha bo’lgan masofalarning farqi o’zgarmas 2a kattalikka ga teng bo’ladi.
   

Haqiqatan,

MF_X -MF₂ = -\j(x + ci" +y² -^j(x-c)² +y² =2a,

2. 
   2 2 2 2 ^ 2
   

(jc + c)" + y" = (jc — c)~ + _y~ +4aA_v/(jf-c)“ + y~ +4a~.,

4cjf-4a² = 4ал](х-с)² +y² ,

cV- 2a²cx +a⁴= a² (x² - 2cx + c²)+a² y², fa² Irjx² a²x² + crbr cry²,

b²x²-a²y²=a²b² ,

bu erdan (15.4) tenglama hosil bo’ladi.

Lekin bu erda giperbolaning faqatgina o’ng shoxasi hosil bo’ladi. Chap shoxasini hosil

qilish uchun MF₂ —MF\ = 2a tenglikdan boshlash kerak.

Tenglamani ko’rinishiga qarab, (15.4) giperbola Ox va Oy o’qlarga nisbatan simmetrik ekanligini xulosa qilishimiz mumkin.

Giperbolaning birinchi chorakda joylashgan qismi tenglamasining ko’rinishi quyidagicha:

(15.5)

У
a (a< x

a

Ko’rinib turibdiki, giperbola (a, 0) nuqtadan o’tadi va x ning [c/,x) yarim intervalda o’sishi bilan у ordinata o’sadi va cheksizlikka intiladi.

Giperbola Ox o’qni kesib o’tgan A (-a, 0) va B(a, 0) nuqtalari uning

uchlari deyiladi. ^

4. 
   tenglama bilan aniqlangan b
   

chiziqni у = —X to’g’ri chiziq bilan a

solishtiramiz.

Giperbola

b

a'

= lim

= 0

⁺* ^a х + л1х² - a²

Ko’rish qiyin emaski,

Г Ъ b I—₂ 7

lim —x — yjx -a _{a a}

bo’ladi.

Bu esa у = —x to’g’ri chiziq bu chiziqqa nisbatan asimptota ekanligini bildiradi. Giperbola

a

o’qlarga nisbatan simmetrik ekanligidan у = ±—x to’g’ri chiziqlar (15.4) giperbolaning x^+oo va

a

x—^-oo dagi asimptotalari bo’ladi.

Parabola. Tekislikda


(15.6)
/ = 2px (p> 0)

tenglama bilan aniqlangan chiziq parabola deyiladi. Or o’qda x = abstsissali parabola fokim

. . . . . . P ....

deb ataladigan F nuqtani belgilaymiz va parabola direktrisasi deb ataluvchi x = -to’g’ri chiziqni o’tkazamiz.

4. 
   parabolani shunday M(xj’) nuqtalarning geometrik o’rni sifatida aniqlash mumkinki, har bir M(xj’) nuqta ham fokusdan, ham direktrisadan bir xil masofada joylashadi. Haqiqatan,
   

Рл 2
Рл 2

(MF) =(x- у) + у , (MN) = (x + y) ,

bu erda MN - M nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofa, demak,

(x - у)² + _y² = (x + у)², -px + y = px, ya’ni у = 2px.

6. 
   tenglamadan ko’rinib turibdiki, parabola Ox o’qga nisbatan simmetrik.
   

Uning yuqorigi yarmi quyidagi tenglamaga ega:

у =-y]2px (0 < x < oo)

bu erdan ko’rinib turibdki, x[0, oo ) yarim intervalni o’sib bosib o’tganda ordinata n ham 0 dan oo

У 2P A

gacha o’sadi. SHu bilan birga x ^oo da — = _л [ > U bo’ladi. Bu erdan kelib chiqadiki, x ning

X V X

etarli katta




x*-p/2
qiymatlarida parabola Ox o’qni saqlaydigan ixtiyoriy burchak ichiga tushadi. Bundan tashqari, bu erdan parabola asimptotaga ega emasligi kelib chiqadi.

Kesishuvchi to’g’ri chiziqlar jufti.

а² х²- Ъ²у²=(ах - Ъу)(ах + Ъу)=0 (а> 0, h > 0) (15.7)

tenglama ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqlarni aniqlaydi. Ko’rinib turibdiki, (15.7) tenglamani qanoatlantiruvchi (x, y) nuqta ax - by = 0, ax + by = 0 tenglamalardan birini yoki ikkalasini ham qanoatlantiradi.