1-Mavzu. Natural sonlar va ular ustida amallar. Tub va murakkab sonlar. Sonlarning bo‘linish alomatlari. Natural sonlar va ular ustida amallar

Misollar:

1. 
   Ikki xonali sonning ketidan yana o‘sha ikki xonali son yozildi. Hosil bo‘lgan
   

son tub son bo‘lishi mumkinmi?

2. 
   Natural a va b sonlar uchun 31a=54b tenglik o‘rinli. a+b sonning murakkab
   

son ekanligini isbotlang.
31a son 54 ga bo‘linadi. 31 va 54 ning o‘zaro tub son ekanligidan a ning 54 ga bo‘linishi kelib chiqadi. Ya’ni a=54n . U holda bo‘ladi. Bundan a+b=54n+31n=85n. Demak a+b-murakkab son ekan.

3. 
   natural a va b sonlar uchun 15a=32b tenglik o‘rinli. a-b son tub bo‘la oladimi?
   

Agar tub bo‘lsa, birorta misol keltiring, bo‘la olmasa isbotlang.

4. 
   Tub sonni 21 ga bo‘lganda qoldiq qoladi. Barcha murakkab sonlardan iborat
   

qoldiqlarni toping.
Tub sonni p, to‘liqsiz bo‘linmani q deb, qoldiqni r deb olsak. p=21q+r (05) Tub sonni a) 30 ga, b) 60 ga bo‘lgandagi qoldiq murakkab son bo‘lishi mumkinmi?
6) 21 sonining o‘ng tomoniga ikkita ketma-ket keluvchi natural sonning ko‘paytmasi yozildi. Hosil bo‘lgan sonning murakkab son ekanligini isbotlang.
7) a²-10a+21 tub son bo‘ladigan barcha a natural sonlarni toping.
Berilgan kvadrat uchhadni chiziqli ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
a²-10a+21=(a-3)(a-7). Quyidagicha mulohaza yuritamiz:

1. 
   a-3=1 bo‘lsin. U holda a=4 bo‘ladi. a-7=4-7=-3. Bu holatda a²-10a+21
   

manfiy son bo‘ladi.

2. 
   a-7=1 bo‘lsin. a=8, a-3=5-tub son. Demak a=8 masala shartini
   

qanoatlantiradi.

3. 
   a-3=-1, a=2, a-7=-5. Bu holda ham natija 5-tub son bo‘ladi, demak
   

a=2 ham javob bo‘ladi.

4. 
   a-7=-1, a=6, a-3=3. Bu holda a²-10a+21<0 bo‘ladi.
   

Demak javob: 8 va 2 bo‘ladi.
8) n²-7n+10 sonning moduli tub son bo‘ladigan barcha n-butun sonlarni toping.
9) a) n³-n²+n-1; b) n³-6n+4 ifodalar tub son bo‘ladigan barcha n- butun sonlarni toping.
10) n⁴+4- murakkab son bo‘ladigan barcha n-natural sonlarni toping.
n⁴+4= n⁴+4+4n²-4n²=(n²+2)²-(2n)²=(n²+2n+2)(n²-2n+2). Bundan n²+2n+2 ko‘phad har doim 1 dan katta bo‘ladi. n²-2n+2=1 bo‘lishi mumkin. (n-1)²=0, n=1. Bunda n⁴+4=5 bo‘ladi. Demak javob: n≠1 bo‘ladi.
11) Quyidagi ifodalar murakkab son bo‘ladigan barcha a-natural sonlarni toping. a) a⁴+64; b) a⁴+a²+1, c) a⁵+a+1.
12) a⁴+4b⁴-tub son bo‘ladigan barcha a va b natural sonlarni toping.
13) -tub son bo‘ladigan barcha n-natural sonlarni toping.
14) n²+21n+1-murakkab son bo‘ladigan hech bo‘lmaganda bitta n natural sonni toping.
15) (210n+1) ketma-ketlikning barcha hadlari tub son bo‘ladimi? Agar tub son bo‘lsa isbotlang, bo‘lmasa ketma-ketlikning hech bo‘lmaganda bitta murakkab son bo‘ladigan hadini toping.
16) a) 2²+1, 4²+1, 6²+1, 8²+1, …;
b) 4²+1, 14²+1, 24²+1, 34²+1, …
ketma-ketliklar orasida murakkab sonlarning cheksiz to‘plamlari mavjudligini isbotlang.
17) 2⁸⁰+3⁸⁰ son tub sonmi yoki murakkab son?
18) 2¹⁷+2⁵-1 sonning murakkab son ekanligini isbotlang.
19) a=101010…101 (n ta nol va n+1 ta birlik, n>1) son n ning istalgan qiymatida murakkab son bo‘lishini isbotlang.
a ni quyidagicha yozib olamiz:

Bunda ikkita hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   n-juft son bo‘lsin. U holda 10ⁿ⁺¹+1 son 11 ga bo‘linadi, 10ⁿ⁺¹-1 son 9 ga
   

bo‘linadi (n>1 ekanligidan 10ⁿ⁺¹+1>11, 10ⁿ⁺¹-1>9).

2. 
   n-toq son bo‘lsin. U holda 10ⁿ⁺¹-1 son 99 ga bo‘linadi (n>1 ekanligidan
   

10ⁿ⁺¹-1>99). Javob: a-murakkab son.