1-mavzu. Parametr qatnashgan ifodalar. Parametrli tenglama haqida tushuncha. Reja

Masalan, Vx² - x - 2 = x - 3 tenglamani yechish talab qilingan bo’lsin.
Yechish: -xjx² — x — 2 = x — 3 tenglamani chap tomoni (-^ ;-1] va [2; + ^ ) sohalarda aniqlangan va bu sohalarda x² — x — 2 > 0. Lekin o’ng tomoni x > 3 da manfiy emas. Demak noma’lumning qabul qildigan qiymatlar sohasi [3; + ^) dan iborat. Bundan berilgan tenglamani [3; &) da juft darajaga ko’tarish mumkinligi kelib chiqadi. Ya’ni, x²-x-2= =x²-6x+9, 5x=11, x=2,2.
Lekin 2 < 2, 2 < 3 bo’lgani uchun x=2,2 tenglamani yechimi bo’la olmaydi. Demak, berilgan tenglama yechimga ega emas.
§ 4. Tenglamalarning teng kuchliligi
Tenglamalarni yechishda ko’pincha berilgan tenglamani unga teng kuchli bo’lgan tenglama bilan almashtiriladi. Shuning uchun biz tenglamalarni teng kuchliligi tushunchasi bilan mukammal tanishamiz. Buning uchun dastlab tenglamaning natijasi tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. Agar f(x) = @(x) (1) va g(x)=h(x) (2) tenglamalar berilgan bo’lib, birinchi tenglamaning har qanday yechimi ikkinchi tenglamaning ham yechimi bo’lsa, u holda ikkinchi tenglamaga birinchi tenglamaning natijasi deyiladi.
Masalan, x²-3x-4=0 (3) tenglama 3x-2=x+6 (4) tenglamani natijasi bo’ladi. Chunki to’rtinchi tenglamaning x=4 yagona yechimi uchinchi tenglamaning ham yechimi bo’ladi. Bu fikrning aksinchasi to’g’ri emas. Ya’ni uchinchi tenglama to’rtinchi tenglamani natijasi bo’la olmaydi. Chunki uchinchi tenglama x=4 yechimdan tashqari to’rtinchi tenglamani qanoatlantirmaydigan x=-1 yechimga ham ega.
Ta’rif. Agar birinchi tenglamaning har qanday yechimlari ikkinchi tenglamaning ham yechimlari va aksincha, ikkinchi tenglamaning har qanday yechimlari birinchi tenglamaning ham yechimlari bo’lsa, u holda birinchi va ikkinchi tenglamalarni teng kuchli tenglamalar deyiladi.
Ta’rif. Agar birinchi tenglama ikkinchi tenglamaning natijasi va aksincha, ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning natijasi bo’lsa, u holda birinchi va ikkinchi tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi.
Masalan, 2x=10 va -x/2 x — 1 = 3 tenglamalar teng kuchlidir. Chunki ularning har birini yechimi x=5 dan iborat. 2x-6=0 va x²-7x+12=0 tenglamalar teng kuchli emas. Chunki birinchi tenglamaning x=3 yechimi ikkinchi tenglamaning yechimi, lekin ikkinchi tenglamaning x=3 dan farqli x=4 yechimi ham mavjud bo’lib, u birinchi tenglamani qanoatlantirmaydi.
Tenglamalarni teng kuchliligi tushunchasi ularni qanday ildizlari haqida gap borayotganiga bog’liq bo’ladi. Masalan, 2x-5=0 va (x-2,5)(x²-7)=0
tenglamalar umuman olganda teng kuchli emas. Chunki birinchi tenglama x=2,5 ga teng bitta ildizga ega. Ikkinchi tenglama esa x=2,5, x₂=-47 va x₃=4l lardan iborat 3 ta ildizga ega. Lekin gap bu tenglamalarni faqat ratsional ildizlari haqida bo’lsa, u holda ular teng kuchlidir.
Tenglamalarni teng kuchliligi bo’yicha quyidagi tasdiqlar o’rinlidir:

1. 
   f(x) = (p (x) va f(x)- (p(x)=0 tenglamalar teng kuchlidir.
   
2. 
   Agar g(x) funktsiyaf(x) = p (x) tenglamani aniqlanish sohasida ma’noga ega bo’lsa, u holdaf(x) = p(x) vaf(x)+g(x) = p (x)+g(x) tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
   
3. 
   Agar g(x) funktsiyaf(x) = p (x) tenglamani aniqlanish soxasida ma’noga ega
   

bo’lib, hamda g(x) > 0 bo’lsa, u holda f(x) = p (x) va f(x) • g(x) = = p(x) • g(x)
tenglamalar teng kuchli bo’ladi.

4. 
   Agar a>0, a * 1 bo’lsa, u holda d^(x)=a ^^(x) va f(x) = p(x) tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
   
5. 
   Agar f(x) = p (x) tenglamani aniqlanish sohasida f(x)> 0 va p (x) > 0 bo’lsa, u holdaf(x) = p (x) vaf(x) = pⁿ(x) tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
   
6. 
   Agar a>o, a> 1 vaf(x) = p (x) ning aniqlanish sohasidaf(x)>0, p(x)>0 bo’lsa, u holdaf(x) = p (x) va log_af(x)=log_ap (x) tenglamalar teng kuchli bo’ladi.
   
7. 
   Agar f(x)>0,p (x)>0, a>0 va aA1 bo’lsa, u holda logaf(x)+logap