1-Mavzu: raqamli qurilmalarning mantiqiy va arifmetik asosi reja

Bul algebrasining asoslari

Klassik matematikada funksiya ikki usulda beriladi: analitik (formula yozuvi) va jadval (masalan, lug‘atlarda beriladigan funksiyalar qiymatining jadvali). Mantiqiy funksiyalar ham shunday usullarda berilishi mumkin.
Jadval usulida, argumentlar qiymatining mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlari va ularga mos keluvchi mantiqiy funksiyalarning qiymatlari ifodalangan rostlik jadvali tuziladi. Bunday o‘rinalmashtirishlarning soni chekli bo‘lganligi uchun, rostlik jadvali funksiya qiymatini argumentning ixtiyoriy qiymati uchun aniqlashga imkon beradi (funksiyaning qiymatlarini argumentlarning barcha qiymatlari uchun emas, ba’zi bir qiymatlari uchun aniqlaydigan matematik funksiyalar jadvalidan farqli ravishda).
Bir argumentli mantiqiy funksiyalar uchun rostlik jadvali keltirilgan. Bir argumentning hammasi bo‘lib to‘rtta funksiyasi mavjud.
3-jadval

X argumenti	Funksiyalar
	f0(x)	f1(x)	f2(x)	f3(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Agar funksiya argumentlarining soninga teng bo‘lsa, argument qiymatlarining turli o‘rin almashtirishlari soni 2ⁿ ni tashkil qiladi, n argumentning turli funksiyalari soni 2ⁿ . Masalan, n=2 da argumentlar qiymatining o‘rin almashtirishlari soni 2²=4 ga, funksiyalar soni esa 2⁴=16 ga teng. Ikki argumentli funksiya uchun rostlik jadvali 3-jadvalda keltirilgan.

Mantiqiy funksiya analitik usulda ham berilishi mumkin. Odatdagi matematikada funksiyani analitik usulda berilishi deganda, funksiyaning argumentlari biror matematik amal orqali bog‘langan matematik ifodalar ko‘rinishida berilishini tushunamiz.
Raqamli texnikada ikkita holatga ega bo‘lgan, nol va bir yoki «rost» va «yolg‘on» so‘zlari bilan ifodalanadigan sxemalar qo‘llaniladi. Biror sonlarni qayta ishlash yoki eslab qolish talab qilinsa, ular bir va nollarning ma’lum kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi. U holda, raqamli qurilmalar ishini ta’riflash uchun maxsus matematik apparat lozim bo‘ladi. Bunday matematik apparat Bul algebrasi yoki Bul mantiqi deb ataladi. Uni irland olimi D. Bul ishlab chiqqan.
Mantiq algebrasi «rost» va «yolg‘on» ko‘rinishdagi ikkita mantiq bilan ishlaydi. Bu shart «uchinchisi bo‘lishi mumkin emas» qonuni deb ataladi. Bu tushunchalarni ikkilik sanoq tizimidagi raqamlar bilan bog‘lash uchun «rost» ifodani 1 (mantiqiy bir) belgisi bilan, «yolg‘on» ifodani 0 (mantiqiy nol) belgisi bilan belgilab olamiz. Ular Bul algebrasi konstantalari deb ataladi.
Umumiy holda, mantiqiy ifodalar har biri 0 yoki 1 qiymat oluvchi x₁, x₂, x₃, ...x_n mantiqiy o‘zgaruvchilar (argumentlar)ning funksiyasi hisoblanadi. Agar mantiqiy o‘zgaruvchilar soni n bo‘lsa, u holda, 0 va 1 lar yordamida 2ⁿ ta kombinatsiya hosil qilish mumkin. Masalan, n=1 bo‘lsa: x=0 va x=1; n=2 bo‘lsa: x₁x₂=00,01,10,11 bo‘ladi. Har bir o‘zgaruvchilar majmui uchun y 0 yoki 1 qiymat olishi mumkin. Shuning chun n ta o‘zgaruvchini 2 ta turli mantiqiy funksiyalarga o‘zgartirish mumkin, masalan, n=2 bo‘lsa 16, n=3 bo‘lsa 256, n=4 bo‘lsa 65536 funksiya.
n o‘zgaruvchining ruxsat etilgan barcha mantiqiy funksiyalarini uchta asosiy amal yordamida hosil qilish mumkin:

• 
  mantiqiy inkor (inversiya, EMAS amali), mos o‘zgaruvchi ustiga «-» belgi qo‘yish bilan amalga oshiriladi;
  
• 
  mantiqiy qo‘shish (dizyunksiya, YOKI amali), «+» belgi qo‘yish bilan amalga oshiriladi;
  

- mantiqiy ko’paytirish (konyunksiya, HAM amali), «•» belgi qo‘yish bilan amalga oshiriladi.
Ifodalar ekvivalentligini ifodalash uchun «=» belgisi qo‘yiladi.
Mantiqiy funksiyalar va amallar turli ifodalanish shakllariga ega bo‘lishlari mumkin: algebraik, jadval, so‘z bilan va shartli grafik (sxemalarda). Mantiqiy funksiyalarni berish uchun mumkin bo‘lgan argumentlar majmuidan talab qilinayotgan mantiqiy funksiya qiymatini berish yetarli. Funksiya qiymatlarini ifodalovchi jadval haqiqiylik jadvali deb ataladi.
2.1, 2.2 va 2.3-jadvallarda ikkita o‘zgaruvchi x₁,x₂ uchun mantiqiy amallarning algebraik va jadval ifodasi keltirilgan.

2.4-jadval

Assotsiativlik qonunlaridan foydalanib, ko‘p o‘zgaruvchi (n>2) ixtiyoriy mantiqiy funksiyasini ikkita o‘zgaruvchi funksiyalar kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin. 2² =16 ikkita o‘zgaruvchi funksiyalarining to‘liq majmui 2.5-jadvalda k eltirilgan. Funksiyalarning har biri x₁ x₂ o‘zgaruvchilar ustidan amalga oshirish mumkin bo‘lgan 16 ta mantiqiy amal kombinatsiyadan birini bildiradi va ular o‘z nomi va shartli belgisiga ega.
Masalan, «Istisnoli YOKI» amalini bajarishda x₁ ≠ x₂ bo‘lgandagi y₆ =1; x₁₌ x₂ bo‘lgandagi y₆=0 ikkita o‘zgaruvchi uchun tengsizlik signali paydo bo‘ladi. «Teng ma’nolik» (ekvivalentlik) amalini bajarishda x₁=x₂ bo‘lgandagi y₉=1; x₁ ≠ x₂ bo‘lgandagi y₉ = 0 ikkita o‘zgaruvchi uchun tenglik signali paydo bo‘ladi. 2.5-jadvalning so‘nggi ustunida taqiq, implikatsiya (inglizcha, chiqarib olish) kabi murakkab funksiyalarni bajarish uchun u yoki bu amalni bajaruvchi mantiqiy elementlar nomlari keltirilgan.

«Istisnoli YOKI», Pirs va Sheffer elementlari kabi yangi funksiyalar konyunksiya, dizyunksiya va inversiya amallari orqali ifodalangani e’tiborga loyiq. Bir funksiya argumentlarini boshqa funksiya argumentlari bilan almashtirish amali superpoztsiya deb atala- di. Superpozitsiyani bir necha marta kodlash ikkita o‘zgaruvchi funksiyasi asosidagi ixtiyoriy sondagi argumentlar uchun (ya’ni, turli murak- kablikdagi) funksiyalar olish imkonini beradi. Mazkur funksiyalar super- pozitsiyasi yordamida ifodalash mumkin boTgan ixtiyoriy ikkilik funk- siya majmui, funksional to⁽liq majmua (FTM) deb ataladi. FTM kon- yunksiya va inversiya, dizyunksiya va inversiya, taqiq va bir konstantasi, taqiq va inversiya, tengma’nolik emas va implikatsiya, hamda ikkita yakka funksiyalar - Pirs va Sheffer elementini hosil qiladi. Konyunksiya, dizyuntsiya va inversiya funksiyalari majmui asosiy funksional to ⁽liq majmua (AFTM) nomini olgan.