1-mavzu. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar Reja: Kombinatorika elementlari. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar
Download 0.49 Mb. Pdf ko'rish
|
1 Amaliy mashgulot Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.2-masala.
- Yechilishi.
- 1.7-masala.
- 1.9-misol.
- 1.10-masala.
- 1.11-masala.
- 1.2. Tasodifiy hodisalar va ular ustida ammallar. 1.1-ta’rif .
|
1-mavzu. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar Reja: 1. Kombinatorika elementlari. 2.Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar. 1.1. Kombinatorika elementlari. Biror qoida bo„yicha chekli sondagi element-lardan tuzilgan to„plamning mumkin bo„lgan barcha turli xil kombinatsiyalarini hisoblashga doir masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Matematikaning bunday masalarini yechish bilan shug„ullanadigan bo„limi kombinatorika deyiladi. O‘rinlashtirishlar. n ta elementdan tuzilgan chekli to„plam berilgan bo„lsin. n ta turli elementdan k tadan o‘rinlashtirishlar deb, berilgan n ta
elementdan olingan k ta elementni o„z ichiga olgan barcha mumkin bo„lgan shunday gruppalarga aytiladiki, ular bir-birlaridan yo elementlarining tarkibi, yo tartibi bilan farq qiladi. n ta elementdan k tadan tuzilgan o„rinlashtirishlar soni k n A
orqali belgilanadi. n k tadan takrorlamasdan o„rinlashtirishlar soni
( 1) ( 1)
n A n n n k (1.1) formula bo„yicha aniqlanadi. (1.1) formulani quyidagicha ham yozish mumkin:
. )! ( ! k n n A k n
Agar n k bo„lsa, quyidagi
! n n n A P n
(1.2 ) formula hosil bo„ladi n ta turli elementdan k tadan takrorlanadigan o„rinlashtirishlar soni
(1.3) formula bo„yicha topiladi.
n ta turli elementdan tuzilgan o‘rin almashtirishlar deb,
ta elementdan tuzilgan va bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan farq qiladigan mumkin bo„lgan barcha gruppalarga aytiladi. O„rin almashtirishlar soni n P orqali belgilanadi.
ta turli elementdan takrorlamasdan o„rin almashtirishlar soni
!
P n (1.4) formula bo„yicha aniqlanadi.
ta turli elementdan takrorlash bilan, chunonchi birinchi tipdagi 1
ta elementdan ikkinchi tipdagi 2 k ta elementdan,…, n –tipdagi n k ta elementdan tuzilishi mumkin bo„lgan o„rin almashtirishlar soni
! !
)! ( ) , , , ( 2 1 2 1 2 1 n n n k k k k k k k k k P (1.5) formula bilan aniqlanadi.
n ta turli elementdan k tadan tuzilgan gruppalash deb, berilgan
ta elementdan olingan k ta elementni o„z ichiga olgan va bir–biridan kamida bitta elementi bilan farq qiladigan barcha mumkin bo„lgan birlashmalarga aytiladi. n ta elementdan k tadan tuzilgan gruppalashlar soni k n C orqali
belgilanadi. Bu son quyidagi formula bo„yicha topiladi: .
k n k n P A C
n ta turli elementdan k tadan takrorlashsiz gruppalashlar soni
! !( )! k n n C k n k (1.6) yoki
! ) 1 )...( 1 ( k k n n n C k n (1.7) formula bilan aniqlanadi.
ta turli elementdan
tadan takrorlashlarsiz gruppalashlar soni shu n ta
elementdan n –
k tadan tuzilgan gruppalashlar soniga teng:
) 0 ( n k C C k n n k n . n ta turli elementdan k tadan takrorlanadigan gruppalashlar soni ! ) 1 ( ! )! 1 ( 1
k k n C C k k n k n (1.8) formula bilan aniqlanadi.
2) 6
n ta elementdan 4
tadan tuzilgan o„rinlashtirishlar sonini toping. Yechilishi. (1.1) formulaga ko„ra topamiz: 1)
; 6840
18 19 20 3 20 A
2) . 11 12 ) 5 )( 6 ( 4 6 n n A n n
1.2-masala. 10 ta sinf xonasini 10 ta o„quv kabinetiga necha xil usul bilan taqsimlash mumkin.
) formulaga asosan topamiz: ! 10 10 10
1) ; 2 4 2 5 2 6
A A 2) ; 2 6 3 6 4 5
A A 3) . 2 3 2 4
A
Yechilishi. (1.1) formula bo„yicha hisoblaymiz:
. 62 12 20 30 3 4 4 5 5 6 ) 1 4 ( 4 ) 1 5 ( 5 ) 1 6 ( 6 ) 1 2 4 2 5 2 6 A A A
. 8 5 6 4 5 6 2 3 4 5 ) 1 6 ( 6 ) 2 6 )( 1 6 ( 6 ) 3 5 )( 2 5 )( 1 5 ( 5 ) 2 2 6 3 6 4 5 A A A
. 72 2 3 3 4 ) 1 3 ( 3 ) 1 4 ( 4 ) 3 2 3 2 4 A A
1.4-misol. Agar: } , , { }; 4 , 3 { ) 2 }; 1 { ) 1
b a B B B bo„lsa, berilgan to„plamlarning elementlaridan tuzilgan mumkin bo„lgan barcha o„rin almashtirishlarni yozing.
) 2 ; 1 ); 1 ( ) 1 1 P (3,4); (4,3); ; 2
1 2
3)
. 6 3 2 1 ); , , ( ); , , ( ); , , ( ); , , ( ); , , ( ); , , ( 3 P a b c b a c a c b c a b b c a c b a
1.5-misol. Hisoblang: . ) 2 ; ) 1 0 4 6 8 6 21 C C C
Yechilishi. (1.6) formula bo„yicha topamiz:
6 21 21!
21! 1 2 3
21 16 17 18 19 20 21 1) 54264;
6! (21 6)! 6! 15!
1 2 6 1 2
15 1 2 3 4 5 6 C
6 0 8 4 8 7 6 5 4 3 2) 1 28 1 29.
6! C C
1.6-masala. n ta elementdan 3 tadan tuzilgan gruppalashlar soni 2
ta elementdan 4 ta dan tuzilgan gruppalashlar sonidan 5 marta kichik. n ni toping.
4 2 3 5 n n C C
munosabat o„rinli. Bundan (1.6) formulani e‟tiborga olib, ! 4 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( 5 n n n n n n n
ni hosil qilamiz. Bu tenglikdan
) 2 )( 1 ( ) 2 ( 20 n n n yoki
2 3 40 20 2 n n n
tenglamaga ega bo„lamiz. Kvadrat tenglamani yechib, 14
yoki 3
n ekanligini topamiz.
ishlatmasdan nechta uch xonali va to„rt xonali son tuzish mumkin? Yechilishi. Masalada 1, 2, 3, 4 raqamlaridan tuzish mumkin bo„lgan uch xonali va to„rt xonali sonlar nechta ekanligini topish yoki, boshqacha aytganda, shu raqamlardan yo uch xonali, yoki to„rt xonali son tuzish usullari nechta ekanligini topish talab qilinadi. Ko„paytirish qoidasiga ko„ra to„rt xonali sonni 24 4
2 1 ta usul bilan, uch xonali sonni 24 2
4 ta usul bilan tuzish mumkin. Unda yo uch xonali, yoki to„rt xonali sonni tanlash qo„shish qoidasiga ko„ra 24+24=48 ta usul bilan amalga oshirish mumkin. Shunday qilib, sonni hosil qilishda har bir raqamdan ko„pi bilan bir marta foydalanib, 1, 2, 3, 4 raqamlaridan tuzish mumkin bo„lgan uch xonali va to„rt xonali sonlarning umumiy miqdori 48 ga teng bo„ladi.
1.8-masala. Mahalla fuqoralar yig„ini tarkibiga 8 kishi saylanadi. Ulardan rais va o„rinbosarini saylash kerak. Buni nechta usul bilan bajarish mumkin? Yechilishi. Masala 8 ta elementdan ikkitadan o„rinlashtirishlar (takrorlamas- dan) sonini topishga keltiriladi, chunki bu yerda mahalla fuqoralar yig„ini rahbarligiga kim saylanishi ham, ular orasida vasifalar qanday taqsimlanishi ham muhim. Shunday qilib, izlanayotgan son
7 8 2 8 A .
mumkin?
berilgan sakkizta raqamdan olingan uchta raqamdan tuzilgan takrorlanadigan o„rinlashtirish deb qarash mumkin. Shuning uchun, izlanayotgan sonni (1.3) formula bo„yicha topamiz:
512 8 3 3 8 A .
raqamlaridan nechta turli to„rt xonali son tuzish mumkin?
va birinchi raqami noldan farqli bo„lgan biror o„rin almashtirish ko„rinishida ifodalanishi mumkin. Beshta raqamdan tuzilgan o„rin almashtirishlar soni 120
! 5 5
ta bo„lgani uchun va ulardan ! 4 ta o„rin almashtirish noldan boshlangani uchun izlanayotgan miqdor
96 4 4 3 2 1 4 ! 4 ! 4 5 ! 4 ! 4 ! 5 . 1.11-masala. 3 ta yashil, 4 ta ko„k va 5 ta qizil marjonni nechta usul bilan ipga tuzish mumkin? Yechilishi. Masalada 3 1 k ta (yashil marjon) birinchi tip elementdan, 4 2
k ta (ko„k marjon) ikkinchi tip elementdan, 5 3
k ta (qizil marjon) uchinchi tip elementdan takrorlanadigan o„rin almashtirishlar sonini topish talab qilinadi. (1.5) formulaga ko„ra
27720 ! 5 ! 4 ! 3 ! 12 ! 5 ! 4 ! 3 )! 5 4 3 ( ) 5 , 4 , 3 ( P
ni hosil qilamiz. 1.12-masala. 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sonlardan juft-juft qilib olib, nechta to„g„ri kasr tuzish mumkin.
kichik bo„lgan turli juftliklar 7 ta elementdan 2 tadan tuzilgan gruppalashlar nechta bo„lsa, shuncha bo„ladi. Bu yerdan (1.6) formulaga ko„ra 21 ! 5 ! 2 ! 7 2 7 C ni hosil qilamiz.
bilan sotib olish mumkin? Yechilishi. Masalada uchta turli elementdan tuzish mumkin bo„lgan barcha 9 elementli gruppalar sonini topish talab qilinadi, bunda ko„rsatilgan elementlar har bir gruppada takrorlanishi mumkin, gruppalarning o„zlari esa bir-biridan kamida bitta elementi bilan farq qiladi.
Bu masala uchta elementdan to„qqiztadan takrorlanish bilan tuzilgan gruppalashlar sonini topishdan iborat. Demak, (1.8) formulaga ko„ra,
55 2 11 10 ! 2 ! 9 ! 11 9 11 9 3 C C
ni hosil qilamiz. 1.2. Tasodifiy hodisalar va ular ustida ammallar. 1.1-ta’rif. Hodisa deb, ma’lum bir shartlar bajarilishi natijasida ro‘y bergan voqeaga aytiladi. 1.2-ta’rif. Hodisa bilan bog‘liq bo‘lib, uning paydo bo‘lishiga sababchi bo‘lgan barcha kompleks shartlarga sinash yoki tajriba deyiladi. Masalan: 1) bir turdagi asboblarning sifatini tekshirish sinash hisoblanadi. Tekshirish natijasida kuzatilgan yaroqsiz yoki yaroqli asboblar hodisani tashkil qiladi; 2) zayomda yutuq chiqishini tekshirish-sinash, yutuq chiqishi yoki chiqmasligi esa, hodisa bo„ladi; 3) tangani tashlash-sinash, yozuvli tomon yoki gerb tomoni tushishi hodisadir. Hodisani sinash natijasi deb qaraymiz.
uzilishi -- bu sinash. Nishonning tayin sohasiga o„q tegishi hodisa. Download 0.49 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|