1-mavzu. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar Reja: Kombinatorika elementlari. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar

1.15-misol.  Yashikda  rangli  sharlar  bor.  Yashikdan  tavakkaliga  bitta  shar 

olinadi.  Yashikdan  shar  olinishi  sinash  hisoblanadi.  Rangli  shar  chiqishi    esa, 

hodisa. 

 Biz kuzatadigan voqea (hodisalar) 3 turga bo„linadi: 1) ishonchli (muqarrar) 

hodisalar; 2) ishonchsiz  hodisalar; 3) tasodifiy hodisalar.  

1.3-ta’rif.  Har  bir  sinashda  albatta  ro‘y  beradigan,  ya’ni  paydo  bo‘lishi 

sinashlardan avval ma’lum bo‘lgan voqeaga ishonchli hodisa deyiladi. 

 

Masalan: 1) yer yuzida bir sutka 24 soat cho„zilishi; 2) yuqoriga otilgan tosh 

yerga  qaytib  tushishi;  3)  idishdagi  suv  normal  atmosfera  bosimida  isitilib,  uning 

temperaturasi  100

0

  ga  yetganda  bug„ga  aylanishi  va  shunga  o„xshash  voqealar 

ishonchli hodisani tashkil qiladi. 

 

1.4-ta’rif.  Birorta  ham  sinashda  ro‘y  bermaydigan  yoki  ro‘y  bermasligi 

sinashlardan  avval  ma’lum  bo‘lgan  voqeaga    ishonchsiz  (mutlaqo  ro‘y 

bermaydigan)  hodisa deyiladi. 

Masalan:  1)  oyning  yerga  tushishi;  2)  bir  sutkaning  25  soatga  cho„zilishi  

kabi voqealar ishonchsiz yoki  mutlaqo ro„y bermaydigan hodisalardir.  

 

1.5-ta’rif.  Paydo  bo‘lishi  yoki  bo‘lmasligi  sinashlardan  avval  ma’lum 

bo‘lmagan voqeaga tasodifiy hodisa deyiladi. 

Masalan:    1)  tanga  tashlaganda,  u  yo  gerbli  yoki  yozuvli  tomoni  bilan 

tushadi;  2)  zayomda  yutuq  chiqishi  ham  chiqmasligi  ham  mumkin.  Bu  hodisalar 

tasodifiydir. 

 

Muqarrar  hodisani 



 harfi  bilan,  mumkin  bo„lmagan  hodisani  esa 



 bilan 

belgilaymiz. 

 

Tajribaning  har  qanday  natijasi  elementar  hodisa  deb  ataladi  va  ω  bilan 

belgilanadi. Elementar hodisalar to„plami Ω bilan belgilanadi. 

 

1.16-misol.  Tangani  bir  marta  tashlashdan  iborat  tajriba  natijasi  ikkita 

elementar  hodisadan: 

1



-tanganing  gerbli  tomoni  tushishi  hodisasi  (

G

)  va 

2



-

tanganing  raqamli  tomoni  tushishi  hodisasidan  (

R

)  iborat  bo„ladi.  Bu  holda 

elementar hodisalar to„plami 



  

R

G,

,

2

1











 bo„ladi. 

Shuningdek  tangani  ikki  marta  tashlashdan  iborat  tajribani  qaraganimizda 

natija  quyidagicha  bo„ladi: 

RR

GR

RG

GG

,

;

;

-elementar  hodisalar  bo„lib  ularning 

to„plami 





RR

RG

GR

GG

;

;

;





 bo„ladi. 

Elementar hodisalarga ajratish mumkin bo„lgan hodisalar murakkab hodisa 

deb ataladi. 

Ehtimollar  nazariyasi  yetarlicha,  ko„p  sondagi  bir  jinsli  tasodifiy  hodisalar 

bo„ysunadigan qonuniyatlarni aniqlash bilan shug„ullanadi. 

Demak, ehtimollar nazariyasining predmeti ommaviy bir jinsli tasodifiy 

hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o‘rganishdir. 

1.6-ta’rif.  Agar  tajriba  natijasida 

A

 hodisa  ro„y  berganida 

B

 hodisa 

muqarrar ro„y bersa, 

A

 hodisa 

B

 hodisani ergashtiradi deb ataladi va 

A



B

 kabi 

yoziladi. 

Masalan, tajriba 36 qartali dastadan bitta qartani tortishdan iborat bo„lsin. 

A

 

hodisa  “g„ishtin”  qarta, 

B

 esa  qizil  belgili  qartaning  chiqishidan  iborat  hodisa 

bo„lsin. U holda ravshanki 

A



B

. 

1.7-ta’rif.  Agar 

A

 hodisa 

B

 hodisani  ergashtirsa  va  o„z  navbatida 

B

 hodisa 

A

 hodisani ergashtirsa, u holda A va 

B

 ekvivalent yoki teng kuchli hodisalar deb 

ataladi va A=

B

 kabi yoziladi. 

Masalan,  tajriba qartalar dastasidan  bitta qartani  tortishdan iborat  bo„lib,  A 

hodisa  “g„ishtin”  yoki  “toppon”  qarta, 

B

 hodisa  esa  qizil  belgili  qartaning 

chiqishidan iborat bo„lsa, u holda 

A

=

B

 bo„lishi ravshan. 

1.8-ta’rif.  Tajriba  natijasida 

A

 va 

B

 hodisalardan  kamida  bittasining  ro„y 

berishidan iborat hodisa ularning yig‘indisi deb ataladi va 

A

+

B

 bilan belgilanadi. 

1.9-ta’rif.  Tajriba  natijasida 

A

 va 

B

 hodisalarning  birgalikda  ro„y 

berishidan  iborat  hodisa  ularning  ko‘paytmasi  deb  ataladi  va 

B

A



 kabi 

belgilanadi. 

1.10-ta’rif.  Agar  A  va 

B

 hodisalar  bir  paytda  ro„y  berishi  mumkin 

bo„lmagan hodisalar, ya‟ni 

A B

  

 bo„lsa, u holda 

A

 va 

B

 birgalikda bo‘lmagan 

hodisalar deyiladi. Aks holda ular birgalikda bo‘lgan hodisalar deyiladi. 

Boshqacha  aytganda  tajribada  birining  ro„y  berishi  qolganlarining  ro„y 

berishini  yo„qqa  chiqaradigan  hodisalarga  birgalikda  bo‘lmagan  hodisalar  deb 

atalar ekan. 

Masalan,  tanga  tashlash  natijasida  bir  vaqtda  gerbli  va  raqamli  tomonlar 

tushish hodisalari birgalikda bo„lmagan hodisalardir. 

1.11-ta’rif.  Agar 

A

 va 

B

 hodisalarning  yig„indisi  muqarrar  hodisa, 

ko„paytmasi  esa  mumkin  bo„lmagan  hodisa,  ya‟ni 

A B

  

,   

A B

  

 bo„lsa,  u 

holda 

A

 va 

B

 hodisalar  o„zaro  qarama-qarshi  hodisalar  deyiladi.  Odatda 

A

 

hodisaga qarama-qarshi hodisa 

A

 kabi belgilanadi. Demak, 

A

A

  

, 

A A

  

. 

Masalan,  tangani  bir  marta  tashlashdan  iborat  tajribada  gerbli  va  raqamli 

tomonlarini  tushishi  hodisalari  qarama-qarshi  hodisalardir.  Shunga  o„xshash 

nishonga qarata o„q uzishdan ibotar tajribada o„qning nishonga tegish hodisasi va 

xato ketish hodisalari qarama-qarshi hodisalardir. 

1.12-ta’rif.  Tajriba  natijasida 

A

 hodisaning  ro„y  berishidan 

B

 hodisaning 

ro„y  bermasligidan  iborat  hodisa 

A

 va 

B

 hodisalar  ayirmasi  deb  ataladi  va 

A

-

B

 

kabi belgilanadi. 

Masalan,  tajriba  to„liq  qartalar  dastasidan  bitta  qartani  tortishdan  iborat 

bo„lib, 

A

 hodisa  “g„ishtin”  qartaning 

B

 hodisa  esa  istalgan  “dama”  qartaning 

chiqishdan iborat bo„lganda 

A

-

B

 hodisaning ro„y berishi chiqqan qarta “dama”dan 

farqli “g„ishtin” qarta bo„lishini anglatadi. 

Eslatma. 

n

A

A

A

,...,

,

2

1

 hodisalarning yig„idisi va ko„paytmasi ham 1.8 va 1.9- 

ta‟riflarga o„xshash ta‟riflanadi. 

1.13-ta’rif.  Agar 

1

2

...

n

A

A

A



 

 

,  ya‟ni  tajribada 

n

A

A

A

,...,

,

2

1

 hodisalardan 

hech  bo„lmaganda  biri  ro„y  bersa,  bu  hodisalar  hodisalarning  to‘la  guruhini 

tashkil qiladi deyiladi. 

Agar 

1

2

n

A

A

A



 

 

, 

i

j

A A

 

(





j

i

j

i

,

,

n

,

1

)  bo„lsa 

n

A

A

A

,...,

,

2

1

 hodisalar 

juft-jufti  bilan  birgalikda  bo„lmagan  hodisalarning  to‘la  guruhini  tashkil  etadi 

deyiladi. 

Agar bir necha 

n

A

A

A

,...,

,

2

1

 hodisalardan istalgan birini tajriba natijasida ro„y 

berishi  boshqalariga  qaraganda  kattaroq  qulaylikka  ega  deyishga  asos  bo„lmasa, 

bunday hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi. 

Masalan  o„yin  soqqasining  simetrik  va  bir  jinsliligidan  1,  2,  3,  4,  5,  6 

ochkolardan istalgan birining chiqishi teng imkoniyatlidir. 

1.17-misol.  Uchta  talaba  bir  biri  bilan  bog„lanmagan  holda  bitta  masalani 

ishlayaptilar.  Faraz  qilamiz, 

1

A

 hodisa  –  birinchi  talaba  masalani  yechdi, 



2

A

 

ikkinchi  talaba  masalani  yechdi, 



3

A

 uchinchi talaba  masalani  yechdi. 

)

3

,

2

,

1

(



i

A

i

 

hodisalar orqali, quyidagi hodisalarni ifodalang: 

1) 

A

 - barcha talabalar masalani yechdi; 

2) 

B

- masalani faqat birinchi talaba yechdi; 

3) 

C

- hech bo„lmaganda bitta talaba masalani yechdi; 

4) 

D

- masalani faqat bitta talaba yechdi. 

 

Yechilishi.  1) 

A

 hodisaning ro„y berishi, bu 

3

2

1

,

,

A

A

A

 hodisalarni bir vaqtda 

ro„y berganini bildiradi, ya‟ni hodisalarning ko„paytmasini ifodalaydi: 

3

2

1

A

A

A

A



. 

2)  Bu holda 

1

A

 hodisa ro„y berdi, 

2

A

 va 

3

A

 hodisalar ro„y bermadi, ya‟ni 

2

A

  

va 

3

A

 hodisalar ro„y berdi. Shunday qilib, 

1

2

3

B

A A A



. 

3) 

C

 hodisa  shuni  bildiradiki,  yo 

1

A

 hodisa,  yo 

2

A

 hodisa,  yo 

3

A

 hodisa, 

yoki  ulardan  ixtiyoriy  ikkitasi,  yoki  uchala  hodisa  birgalikda  ro„y  bergan,  ya‟ni 

ularning yig„indisi ifodalaydi 

3

2

1

A

A

A

C







. 

 

4) Masalani faqat birinchi talaba yechgan 

),

(

3

2

1

A

A

A

 yoki faqat ikkinchi 

talaba 

),

(

3

2

1

A

A

A

 yoki faqat uchinchi talaba 

),

(

3

2

1

A

A

A

 ya‟ni bu hodisalarning 

yig„indisini tashkil etadi 

3

2

1

3

2

1

3

2

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

D







. 

1.18-misol. 

B

A

A





 ifodani soddalashtiring. 

 

Yechilishi.  









A

A

B

A

B

A

AB

A

AB

A































. 

Shunday qilib 

A

AB

A





. Isbotlashda biz quyidagi xossalardan foydalandik: 





,

,

,

,

,

BA

AB

A

B

B

A

BC

AC

C

B

A

A

A

A





























 

bunda 



 elementar hodisalar fazosi. 

1.19-misol. Faraz qilamiz  

B

A,

 va 

C

 tasodifiy hodisalar bo„lsin. Quyidagi 

tenglikni isbotlang: 





A B C

AB

AC







. 

 

Isboti.  Tajribaning  ixtiyoriy  natijasi  elementar  hodisa.  Faraz  qilaylik, 

(

)

A B C







 bo„lsin,  unda 

A





 va 

B C



 

 bo„ladi,  ya‟ni 

B

A









,

,  lekin 

.

C





 Shunday qilib 

AB





 va 

AC





. Bundan 

,

AC

AB







 ya‟ni 





C

B

A



 hodisa 

AB

AC



   hodisani  ergashtiradi,  ya‟ni 





A B C

AB

AC







.  Shunga  o„xshash 





AB

AC

A B C







 munosabat isbotlanadi.  Bulardan 





AC

AB

C

B

A







 kelib 

chiqadi. 

 

1.20-misol. 

B

A

A

B

A







 isbotlang,  bunda 

A

 va 

B

 tasodifiy  hodisalar. 

Hodisalarning geometrik talqinini keltiring.  

 

Yechilishi. Hodisalar ustida amallarning xossalariga asosan 









.

A B

A

B

A

B A

A

A

AB

BA

A

B

AB

A

AB

A

AB

       



  







 



  

 

 



 fazoni  to„g„ri  to„rtburchak  orqali  chizib,  elementar  hodisalarni  (natijalarini)  – 

shu  to„g„ri  to„rtburchakning  nuqtalari  deb,  hodisani  –  uning  qism  to„plami 

(to„plamlarni  bunday  tasvirlash  Eyler-Venn  diagrammasi  deyiladi),  quyidagi 

rasmni hosil qilamiz: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar 

 

1.  10 ta elementdan 4 ta dan tuzilgan o„rinlashtirishlar sonini toping. 

Javob.  154200.   

 

2. 8 kishidan iborat ro„yxatni necha xil usul bilan tuzish mumkin? 

 

Javob. 40320. 

 

3. To„plamning elementlaridan tuzilgan barcha o„rin almashtirishlar soni 100 

tadan  oshmasligi  uchun  bu  to„plamda  nechta  element  bo„lishi  kerak?  200  ta  dan 

kam bo„lmasligi uchunchi? 

 

 

Javob. 

.

6

)

2

;

4

)

1





n

n

 

 

 

 

 

 

4. O„rinlashtirishlar sonini toping: 

 

;

)

3

;

)

2

;

)

1

3

5

3

6

4

1

3

10

A

A

A

A

m

m







 

2

7

2

6

1

5

2

3

3

4

)

5

;

)

4

A

A

A

A

A





 

Javob.1) 720;  2) 

4;

5

2)

-

1)(m

-

(m









  3) 100;  4) 6;  5) 1260. 

 

5.  Talaba  8  kun  ichida  3  ta  yakuniy  nazorat  topshirishi  kerak.  Yakuniy 

nazorat jadvalini nechta usul bilan tuzish mumkin? 

 

Javob. 

.

336

3

8



A

 

    

6.  To„rt til: rus, ingliz, nemis, fransuz tillaridan bu tillarning istalgan biriga 

bevosita tarjima qilish uchun nechta lug„atga ega bo„lish kerak? 

Javob.  

.

12

2

4



A

 

 

7.  3  ta  turli  sovg„ani  6  o„quvchiga  har  bir  o„quvchi:  1)  ko„pi  bilan  bitta 

sovg„a; 2) ko„pi bilan sakkizta sovg„a oladigan qilib, nechta usul bilan taqsimlash 

mumkin?  

Javob.   1) 

.

120

3

6



A

 

2) 

3

3

6

6

216.

A





 

 

8.  Agar  beshta  turli  sovg„adan  bittasi  albatta  taqdim  qilinishi  lozim  bo„lsa, 

uch kishiga bittadan sovg„ani nechta usul bilan taqdim qilish mumkin? 

Javob. 

.

36

3

2

4





A

 

9.  Omborda  turli  mevalar  solingan  5  ta  quti,  turli  sabzavotlar  solingan  3  ta 

quti bor. Ikkita sabzavot  dukonchasining har  biriga  mevalar  va  sabzavot  solingan 

bittadan qutini necha usul bilan berish mumkin? 

Javob.

.

120

2

3

2

5





A

A

 

 

10. Agar  x   absissa va  y  ordinata 1, 2, 3, 4, 5, 6, qiymatlarni qabul qila olsa, 

nechta 

 

y

x

M

,

 nuqta hosil qilish mumkin? 

Javob.

2

2

6

6

36.

A





 

 

11. 1)  «xola»;    2)  «dada»  so„zlarining  harflaridan  nechta  o„rin  almashtirish 

tuzish mumkin? 

Javob.  1)

24

4



P

.   2) 

.

6

)

2

,

2

(



P

  

 

12. Son tasvirida har bir raqam bir marta uchraydi degan shartda 1, 2, 3, 4, 5, 

6,  raqamlaridan  3  raqami  bilan  boshlanib,  5  raqami  bilan  tugaydigan  nechta  turli 

olti xonali son tuzish mumkin? 

Javob. 

.

24

4



P