1. Методика введения новых чисел. Изучение операций над числами

Методика введения отрицательных, целых, рациональных и иррациональных чисел.
ПЛАН

1.Методика введения новых чисел.

2.Изучение операций над числами.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

Натуральные числа N,
Целые числа Z
Рациональные числа �Q
Рациональные числа �Q

Методика введения новых чисел. Изучение операций над числами.

Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. ( Гете)
Линии числа относятся к числу основных в школьной программе, наиболее объемная линия. Она представлена с 1 по 11 классы.
1-4 классы - первый пропедевтический уровень, изучает множество натуральных чисел.
5-6 классы - второй пропедевтический уровень, Изучает множество натуральных чисел, операции, свойства.
5 класс - десятичные дроби.
6 класс - обыкновенные дроби, отрицательные числа. Формирование представлений о множестве рациональных чисел.
7 класс - первое знакомство с иррациональными числами.
8 класс продолжение изучения множества иррациональных чисел.
9 класс формирование представления о множестве действительных чисел.
10-11 класс множество действительных чисел и в классах с углубленным изучением множество комплексных чисел.

Методика введений новых чисел:

1. Практическая или математическая ситуация, требующая введения новых чисел (мотивация).
2. Введение названия, обозначения новых чисел.
3. Определение (описание).
4. Установление связи с известными числами (графическая иллюстрация, схем, геометрические иллюстрации).
(Задачи с кругами Эйлера, где 1-действительные числа, 2-иррациональные,3 – целые, 4- четные, 5 – простые, 6 – мнимые, 0 – ноль, 2).
5. Контроль (чтение, запись, изображение).
Рассмотрим реализацию этой схемы при введении отрицательных чисел.
Существует несколько подходов:
I подход. В связи с рассмотрением величин, которые изменяются в противоположных направлениях (см. учебник Виленкин Н. Я. Математика 6, задача с белкой).
II подход. В связи с невозможностью выполнения операций вычитания во множестве положительных чисел.
6 – 4 = 2
6 – 6 = 0
6 – 8 = ? (создается проблемная ситуация)
Способы решения этой задачи:
1. числа долги
2. с помощью координатной прямой (числа, написанные красным цветов).



8 класс- знакомство с иррациональными числами начинается с задачи х²=2. Решение выполняется графически. Учащиеся видят, что уравнение имеет два вида и приближенное значение равняется х~±1,4. Геометрически измеряли диагональ квадрата с помощью единичного отрезка равного длин его сторон, можно доказать, что это число не является рациональным т.е. их нельзя представить в виде несократимой дроби.
Доказательство методом от противного. Предположим, что  - рациональное число.  -несократимая дробь. Тогда (  )²=2, m²=2n² (2n²- четное). Тогда и левая и правая часть будут четными числами. (2к)²=2n²- четная.4к²=2n², (2к)²=n², (2к)²-четная  n² четная, (2к)²=(2р)², (2к)²=(4р)², к²=2р² ( )²=2.Дробь сокращена, но это противоречит условию. Эти новые числа, которые мы получили, называются рациональными (“ratio”-отношение, иррациональные-«не», иррациональные- не выражаются отношением). Иррациональные числа можно записать в виде десятичной бесконечной непериодической дроби.
При изучении операций над числами, используется принцип общности математических правил, который указывает общий способ решения задач, вне зависимости от характера чисел входящих условий.
литература

1. 
   S.Alixonov Matematika o`qitish metodikasi учебник Cho’lon nomidagi nashriyot matbaa ijodiy uyi Toshkent 2011
   
2. 
   А.Ю.Бакирова.Ф.Х.Сайдалиева Методика преподавания математики Учебное пособие Sharq nashriyoti 2008