1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

1.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 mavjud bo‘lib, shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda akslantirish nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar akslantirish ning hamma nuqtalarida uzluksiz bo‘lsa, u holda ni da uzluksiz deb ataymiz.
Agar va lar sonli to‘plamlar bo‘lsa, ya’ni - son, - sonli funksiya bo‘lsa, u holda akslantirishning uzluksizlik ta’rifi matematik analizdan ma’lum bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi ta’rifiga aylanadi.
Ta’kidlash lozimki, agar metrik fazodagi masofani metrik fazoni metrik fazoga akslantirish deb qarasak, - uzluksiz akslantirish bo‘ladi. Bu yerda to‘plamda va juftliklar orasidagi masofa = + formula yordamida aniqlanadi. Endi akslantirishning uzluksizligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy nuqtani olamiz va mahkamlaymiz. Keyin ixtiyoriy nuqta olib, metrikaning uchburchak aksiomasidan foydalanamiz:


Bu ikki tengsizlikdan

ga kelamiz. Agar
= +
desak, u holda bo‘ladi, ya’ni uzluksiz akslantirish ekan.
Agar akslantirish va metrik fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatsa, u holda ni ga akslantiruvchi teskari akslantirish mavjud bo‘ladi. Agar o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘lib, va akslantirishlar uzluksiz bo‘lsa, u holda gomeomorf akslantirish yoki gomeomorfizm deb ataladi, va fazolar esa gomeomorf fazolar deb ataladi. Gomeomorf metrik fazolarga sonlar o‘qi va intervallarni misol sifatida qarash mumkin. Bu holda gomeomorfizm formula yordamida o‘rnatiladi.
Agar va metrik fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatuvchi akslantirish ixtiyoriy lar uchun shartni qanoatlantirsa, akslantirish izometriya deyiladi, va fazolar esa izometrik fazolar deb ataladi.
va metrik fazolarning izometrikligi, ular elementlari orasidagi metrik bog‘lanishlar bir xil bo‘lib, faqatgina ular elementlarining tabiatiga ko‘ra bir - biridan farq qilinishini bildiradi. Ular orasidagi bu farq metrik fazolar nazariyasi nuqtai - nazaridan muhim emas. Bundan keyin o‘zaro izometrik fazolarni aynan bitta fazo deb qaraymiz.