1. Metrik fazolar va ularga misollar. Metrik fazolarda yaqinlashish. Ochiq va yopiq to‘plamlar

Gyolder tengsizligi deb ataladi. Gyolder tengsizligi kesmada -chi darajasi bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va -chi darajasi bilan integrallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar uchun o‘rinli. (1.10) tengsizlik Koshi-Bunyakovskiy tengsizligining integral formasidir.
Endi haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi fanida xossalari o‘rganilgan o‘zgarishi chegaralangan va absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plamini qaraymiz.
1.13. Berilgan kesmada aniqlangan va o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar to‘plamida ikki nuqta orasidagi masofani
(1.24)
formula bilan aniqlaymiz. Bu yerda - o‘zgarishi chegaralangan funksiyaning kesmadagi to‘la o‘zgarishi (variatsiyasi). (1.24) tenglik bilan aniqlangan akslantirishning metrika aksiomalarini qanoatlantirishi funksiya to‘la o‘zgarishi xossalaridan kelib chiqadi.
Masalan, uchburchak tengsizligi da
va
belgilashlar olsak u quyidagi ko‘rinishni oladi
.
Bu esa tengsizlikdan va o‘zgarishi chegaralangan funksiyalarning

xossasidan kelib chiqadi. Hosil qilingan metrik fazo o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi deyiladi va orqali belgilanadi.
1.14. Berilgan kesmada aniqlangan va absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plamini qaraymiz. Bu to‘plamda ham ikki va nuqtalar orasidagi masofa , (1.24) tenglik bilan aniqlanadi. Hosil qilingan metrik fazo absolyut uzluksiz funksiyalar fazosi deb ataladi va orqali belgilanadi.
1.1-eslatma. - metrik fazo va uning ixtiyoriy qism to‘plami bo‘lsin. U holda da aniqlangan masofa, uning qismi bo‘lgan da ham masofa aniqlaydi. Shuning uchun metrik fazo bo‘ladi. metrik fazo metrik fazoning qism fazosi deb ataladi.
1.1. Metrik fazolarni uzluksiz akslantirishlar. Izometriya
va – metrik fazolar, – esa ni ga akslantirish bo‘lsin. Shunday qilib, har bir elementga yagona element mos qo‘yilgan bo‘lsin.