1. Model tushunchasi Modellashtirish mazmuni bosqichlari va usullari Modellashtirishda tuziladigan texnik hujjatlar

Savol va topshiriqlar

Biologik jarayonlarni modellashtirish deganda nimani tushunasiz?

Modellashtiriladigan biologik jarayonlarga misollar keltiring va ularning modellari haqida gapirib bering.

Iqtisodiy jarayonlarni modellashtirish

Iqtisodiy masalalarni modellashtirish bilan bir misolni yechish orqali tanishib chiqamiz.

Masala. Ikkita non zavodiga un ikkita ombordan keltiriladi. Bir sutkada birinchi non zavodiga 501, ikkinchisiga 901 un zarur. Birinchi ombordan bir sutkada 60 tonna, ikkinchisidan 80 tonna un olish mumkin. Bir tonna unni birinchi ombordan birinchi non zavodiga yetkazish uchun 1400 so'm, ikkinchisiga yetkazish uchun 2000 so'm sarf - harajat bo'ladi. Bir tonna unni ikkinchi ombordan birinchi non zavodiga yetkazish uchun 1200 so'm, ikkinchisiga yetkazish uchun 1600 so'm sarflanadi (12-jadval). Unni tashishga ketadigan umumiy harajat eng kam boiishi uchun qanday tashish taqsimoti bajarilishi kerak?

ga dan	1-non zavodi	2-non zavodi	Ombor imkoniyati
1- ombor	1400	2000	60
2 -ombor	1200	1600	80
Zavod talabi	50	90

Matematik modelni to’zish. Ombordan non zavodlariga unni ta-shishni tashkil etishga qanday omillar ta'sir etishi mumkin? Ular juda ko'p. Lekin bizni faqat unni zavodlarga taqsimlashni qanday amalga oshirish qiziqtiradi (shuning uchun biz haydovchining betob bo'lib qolishi, avtomobilning ishdan chiqishi, yonilg'ining tugashi kabilarni e'tiborga olmaymiz).

Modelni rasmiylashtirish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

x,—bir sutkada 1-ombordan 1-zavodga yetkaziladigan unning miq-dori;

x2—bir sutkada 1 -ombordan 2-zavodga yetkaziladigan unning miq-dori;

x3—bir sutkada 2-ombordan 1-zavodga yetkaziladigan unning miq-dori;

x4—bir sutkada 2-ombordan 2-zavodga yetkaziladigan unning miq-dori.

1 -ombordan bir sutkada 601 un chiqarish mumkin. Ushbu xusu-siyatning modeli x]+x2=60 tenglamadan iborat bo'ladi. Xuddi shu-ningdek, 2-ombor uchun x3+x4=80 tenglamani yozish mumkin.

1 -non zavodining to'xtovsiz ishini ta'minlash uchun ikkala om­bordan keltiriladigan un miqdori zavodning bir sutkada ishlatadigan un miqdoriga teng bo'lishi kerak, ya'ni x,+x4=50.

Xuddi shu kabi 2-zavodga mos x2+x4=90 tenglamani yozish mum-kin. Ravshanki, yuqoridagi shartlar bir vaqtda bajarilishi kerak. Demak, quyidagi chiziqli tenglamaiar tizimiga ega bo'lamiz:

x,+x2=60,

x3+x4=80

X!+x3=50,

x2+x4=90.

Endi tashish uchun zarur harajatlarni baholaymiz. Bir tonna unni tashish narxini bilgan holda, har bir zavod uchun keltiriladigan un miqdorini unga sarflanadigan harajatga mos holda ko'paytirilishi va ular qo'shilishi kerak:

1400x,+2000x2+1200x3+ I600x4

Endi masalaga mos matematik modelni quyidagicha tavsiflash mumkin: Agar x,, x2, x3, x4 o'zgaruvchilarga X!+x2=60, x3+x4=80, x,+x3=50, x2+x4=90 chegaralar qo'yilgan bo'lsa, f=1400x,+ 2000x2+ + 1200x3+1600x4 chiziqli funksiya x,, x2, x3, x4 o'zgaruvchilarning qanday qiymatida eng kichik musbat qiymatga ega bo'lishi topilsin.

Modelni tekshirish. x2, x3, x4 o'zgaruvchilarni x, orqali ifodalab, chegaralar tizimini soddalashtirsak, (1) tizimga ekvivalent bo'lgan quyidagi chiziqli tenglamaiar tizimiga ega bo'lamiz:

x2=60—xp x3=50-x„

x4=30+x,.

f funksiyaga (2) dagi x2, x3 va x4 o'zgaruvchilarning ifodasini qo'yib, quyidagiga ega bo'lamiz:

f=228000-200x,

Shunday qilib, yuqoridagi masalaga ekvivalent yangi matematik masalaga ega bo'ldik:

f=228000-200x,^ min; x2=60—xp x3=50—xp x4=30+x,.

Tashish uchun qilinadigan harajat manfiy bo'lmagan kattalik bilan o'lchanganligidan f > 0 kabi yozamiz. Demak, fning minimal qiymati nolga teng.

Algoritm to’zish.

f=0 deb x, topilsin.

x, qiymatni bilgan holda (2) dan foydalanib, x2, x3, x4 o'zga­ruvchilarning qiymatlari topilsin.
Hisoblash bosqichi.

l.f=0->228000-200x,=0-> x,=l 140.

2.x2=60-x,-+ x2=~ 1080.

3.x3=50-x,^x3=-1090.

4.x4=30+x,-^ x4=1170.

Chegaralar va minimallik shartini qanoatlantiruvchi f=0, x,=l 140, x2=- 1080, x3=- 1090, x4=1170 yechimga ega bo'ldik. Ko'rinib turibdiki, bu yechim izlangan yechim emas, chunki yuk og'irligi manfiy kattalik boimaydi.

Modelga aniqlik kiritish. Tekshirish mobaynida olingan natijadagi qarama-qarshilik shundan iboratki, zavodlarga tashiladigan un miqdori manfiy boiib qoldi. Demak, shunday vaziyatni yo'q qilish kerak. Buning uchun chegaralar tizimiga x, > 0, x2> 0, x3> 0, x4> 0 tengsizliklarni qo'shish kerak.

Aniqlashtirilgan modelning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:

f = 1400x,+2000x2+1200x3+l600x4-^ min:

x,+x2=60, x3+x4=80, x,+x3=50, x2+x,=90. x, > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 >0.

Yangi modelni tekshirish quyidagi ko'rinishga olib keladi: f=228000-200x,^min

x2= 60—x,,

x3= 50—x,,

x4= 30+x,,

x, > 0, x2> 0, x3> 0, x4 > 0.

Bundan x,, x,,x3, x4 o'zgaruvchilarning manfiy bo'lmasligi e'ti-borga olinsa, yana ekvivalent matematik masalaga ega bo'lamiz:

0 < x, < 50

x2= 60—xp

x3== 50-Xp

x4=30+Xp

Modelni tekshirish. (4) modelni tekshirsak, x, ning qiymati ortsa, f funksiya qiymatining kamayishini osongina ko'rish mumkin. Demak, f funksiya o'zining minimal qiymatiga x, ning eng katta qiymatida ega bo'ladi, x, o'zgaruvchining eng katta qiymatini bilgan holda x x3, x4 o'zgaruvchilarning qiymatini topish mumkin.

Yechish algoritmini to’zish.

x, o'zgaruvchining eng katta qiymati topilsin.

x2, x3, x4 o'zgaruvchilarning qiymatlari hisoblansin.

f funksiya qiymati hisoblansin.

Hisoblashlar quyidagi natijaga olib keladi:

1.x, =50.

2. x,= 10, x3=0, x4=80.

3.f=218000.

Topilgan {f=218000, x,=50, x2=10, x3=0, x4=80} yechim (4) tengiamalar tizimini qanoatlantiradi va tashish uchun minimal sarf-harajat kuniga 1-ombordan 1-un zavodiga 50 t, ikkinchisiga 10 t, 2-ombordan faqat 2-zavodga 80 t un yetkazilgan holda 218000 so'mni tashkiJ etar ekan.

12-rasmda matematik model to’zish bosqichlarining blok-sxemasi keltirilgan.

MODELNI TO’ZISH
i	■
MODELNI TEKSHIRISH
i	■
ALGORITM TO’ZISH
■	■
HISOBLASH
■	■
YECHIMGA EGA BO'LISH
<	•
MODELGA ANIQLIK KIRITISH