1. Modulni o`qitishda foydalaniladigan interfaol ta’lim metodlari

Aniq integral mavjud bo‘lishining zaruriy sharti

Teorema. Agar f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiya [a;b] da chegaralangan bo‘ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilaylik. U holda f(x) funksiya [a;b] kesmaning _n bo‘linishiga mos [x_k-1,x_k] (k=1,2,…,n) kesmalarning hech bo‘lmaganda birida chegaralanmagan bo‘ladi. Masalan, funksiya [x_j-1,x_j] da chegaralanmagan bo‘lsin. Integral yig‘indini quyidagicha yozish mumkin:

S(_n )=A+f()x_j ,

bunda A= ()x_k+ ()x_k .

[x_j-1,x_j] da f(x) chegaralanmaganligidan shunday [x_j-1,x_j] nuqta mavjudki, |f()x_j| >|A|+ tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. U holda

|S(_n)| =|A+f()x_j|  |f()x_j|-|A| >|A|+ -|A|=

Demak,  0 da S(_n) bo‘ladi va bundan integral yig‘indining chekli limiti mavjud emasligi kelib chiqadi. Bu esa f(x) ning integrallanuvchi ekanligiga zid bo‘ladi. Bu qarama - qarshilik teoremani isbot qiladi.

Shuni ham aytish kerakki, ba’zi bir chegaralangan funksiyalar integrallanuvchi bo‘lmasligi ham mumkin, ya’ni funksiyaning chegaralanganligi uning integrallanuvchi bo‘lishi uchun faqat zaruriy shart bo‘lib, yetarli shart bo‘la olmaydi. Masalan,

funksiya (Dirixle funksiyasi) [-1;1] da chegaralangan. Shu funksiyaning kesmadagi integral yig‘indilarini olaylik. Agar har bir [x_k-1, x_k] kesmada lar uchun faqat ratsional nuqtalar tanlab olinsa,

bo‘ladi.

Agar har bir [x_k-1, x_k] kesmada lar uchun faqat irratsional nuqtalar tanlab olinsa,

.

Demak, S(_n) integral yig‘indining limiti nuqtalarni tanlab olish usuliga bog‘liqdir. Bu esa Dirixle funksiyasining integrallanuvchi emasligini ko‘rsatadi.

Aniq integralning fizik ma`nosi. y = v(t) funktsiya vaqt davomida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqta tezligini aniqlasa, [t₁;t₂] vaqt oralig‘ida moddiy nuqta bosib o‘tgan masofa

S =

uzunlik birligiga teng bo‘lishi aniq integralning fizik ma‘nolaridan birini tashkil etadi.

Aniq integralning iqtisodiy ma‘nosi uning geometrik yoki fizik ma‘nolari kabi izohlanishi mumkin. y = u (t) funktsiya vaqt davomida biror ishlab chiqarish jarayonining unumdorligini aniqlasin. U holda, [t₁;t₂] vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi

v =

mahsulot birligiga teng.