1§. Мулоҳазалар алгебраси

Мулоҳазалар ҳисоби аксиомаларининг эрклилиги.

Аксиоматик назариядаги аксиомаларнинг эрклилик тушунчаси назария учун танланган аксиомалар системаси ичидан ҳеч қайси аксиома қолган аксиомалардан шу назариядаги келтириб чиқариш қоидалари бўйича келтириб чиқарилмаслигини англатади.
Бизнинг L назариямиз-мулоҳазалар ҳисобининг аксиомалари системаси учун ушбу теорема ўринли:
Теорема: Мулоҳазалар алгебрасининг аксиомалари системаси эрклидир.
Аксиоматик назарияда бирор аксиоманинг шу назариянинг бошқа аксиомаларидан келтириб чиқариб бўлмаслигини назариянинг келтириб чиқариш қоидаларининг хусусиятларидан келиб чиққан ҳолда ўрнатиш мумкин.
Масалан, Евклид геометрияси аксиомалардан параллеллик аксиомасининг бошқа аксиомалардан келтириб чиқариб бўлмаслигини аниқлаш масаласининг ечилиши узоқ тарихий даврни, Лобачевский томонидан ноевклид геометрияни яратилишигача бўлган даврни, босиб ўтди.
Шундай қилиб биз келтирган L мулоҳазалар ҳисобидан иборат формал аксиоматик назария зиддиятсиз, тўла, эркли аксиомалар системаси асосида қурилган назария экан.
Мулоҳазалар ва улар устида мантиқий амаллар

1. 
   Қуйидаги формулаларнинг чинлик жадвалларини тузинг:
   

1. 
   A≡(xy)vz;
   
2. 
   A≡xy→( vx→z);
   
3. 
   A≡( x→y)→(xvyz);
   
4. 
   A≡(xvz)( →(u→ ));
   
5. 
   A≡(xy)→x;
   
6. 
   A≡x→(xvy);
   
7. 
   A≡(x→y)→( → );
   
8. 
   A≡(x→y)(x→ )→ ;
   
9. 
   A≡(x↔y)&(xvy);
   
10. 
    A≡(x→y)&(y→z)→(z→x);
    
11. 
    A≡(x→y)&(y→z)→(x→z);
    
12. 
    A≡(y↔z)&(xvz);
    
13. 
    A≡z&y→(y v z→x);
    

2. 
   Қуйидаги формулаларни коньюнктив нормал шаклга келтиринг:
   
   1. 
      A≡ (z→x)→( →x);
      
   2. 
      A≡ ;
      
   3. 
      A≡ →((x&(y)vz);
      
   4. 
      A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));
      
   5. 
      A≡( → )& ;
      
   6. 
      A≡(xv )→y&z;
      
   7. 
      A≡( →z)→|( → );
      

2. 
   Қуйидаги формулаларни дизьюнктив нормал шаклга келтиринг:
   

1. 
   A≡( → )→((y&z)→(x&z));
   
2. 
   A≡((x→y)→ )→(x→(y&x));
   
3. 
   A≡ & ;
   
4. 
   A≡( → )&|((x&y)→ );
   
5. 
   A≡(xv )→y&z;
   
6. 
   A≡( →z)→ ;
   
7. 
   A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));
   

2. 
   Қуйидаги формулаларни такомил коньюнктив нормал шаклга келтиринг:
   

1. 
   A≡( → )→((y&z)→(x&z));
   
2. 
   A≡((x→y)→ )→(x→(y&x));
   
3. 
   A≡(( )→ )&(( )→ );
   
4. 
   A≡(( )→ )&(( )→ );
   
5. 
   A≡(xv )→y&z;
   
6. 
   A≡( →z)→( → );
   
7. 
   A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));
   

2. 
   Қуйидаги формулаларни такомил дизьюнктив нормал шаклга келтиринг:
   

5.1 A≡ (z→x)→(( )→x);
5.2 A≡(( )→x)v(x&(yvz));
5.3 A≡( ))→((x&(y)vz);
5.4 A≡(x&y→y&z)→((x→y)→(z→y));

5. 
   A≡(( )→ )&(( )→ );
   
6. 
   A≡(xv )→y&z;
   
7. 
   A≡( →z)→|( → );
   

2. 
   Формулаларнинг айнан чинлик ёки айнан ёлғонлик аломатларидан фойдаланиб, қуйидаги формулаларнинг айнан чин, айнан ёлғон ёки бажарилувчи эканлигини кўрсатинг:
   

1. 
   A≡( )↔( v(x&y));
   
2. 
   A≡(x↔y)&((x& )v( &y));
   
3. 
   A≡(x&y)→(x→ );
   
4. 
   A≡(x→y)→( → );
   
5. 
   A≡( → )→(x→y);
   
6. 
   A≡(x→y)&(x→ )→ ;
   
7. 
   A≡(x→(y→z))→((x→y)→(x→z));
   
8. 
   A≡(z→x)→((z→y)→(z→(x&y)));
   
9. 
   A≡(x→z)→((y→z)→((xvy)→z));
   
10. 
    A≡(x→(y→z))→(x&y→z);
    
11. 
    A≡(x&y→z)→(x→(y→z));
    

7. Қуйидаги формулаларда тенг кучли формулалардан фойдаланиб, импликация ва эквиваленцияни коньюнкция ва дизьюнкция орқали ифодаланг, сўнгра ҳосил бўлган формулага мос реле-контакт схемани тузинг:

1. 
   A≡(x&y)vz;
   
2. 
   A≡x&y→( vx→z);
   
3. 
   A≡( x→y)→(xvy&z);
   
4. 
   A≡(xvz)&( →(u→ ));
   
5. 
   A≡(x&y)→x;
   
6. 
   A≡x→(xvy);
   
7. 
   A≡(x→y)→( → );
   
8. 
   A≡(x→y)&(x→ )→ ;
   
9. 
   A≡(x↔y)&(xvy);
   
10. 
    A≡(x→y)&(y→z)→(z→x);
    
11. 
    A≡(x→y)&(y→z)→(x→z);
    
12. 
    A≡(y↔z)&(xvz);
    
13. 
    A≡z&y→(y v z→x);
    

№ 2 – Мустақил иш