1-мисол. функция тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. ва ифодаларни тенгламага қўйиб, айниятни хосил қиламиз. Демак, берилган функция кўрсатилган тенгламанинг ечими бўлади.
2-мисол. муносабат билан аниқланган функция дифференциал тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. белгилаш киритиб, ошкормас функцияни дифференциаллаш формуласи [4] ёрдамида топилган ифодани тенгламага қўйиб айниятга келамиз. Демак, берилган ошкормас функция тенгламанинг ечими бўлади.
2. Изогонал ва ортогонал траекториялар
Берилган чизиқлар оиласига кирган ҳамма эгри чизиқларни бир хил бурчак остида кесиб ўтадиган чизиқлар шу чизиқлар оиласининг изогонал траекториялари дейилади. Хусусан, агар бўлса, у ҳолда изогонал траекториялар ортогонал траекториялар дейилади.
Агар эгри чизиқлар оиласининг тенгламаси кўринишда бе-рилган бўлса, у ҳолда аввал шу оиланинг дифференциал тенгламасини тузиб олиш керак. Қисқалик учун белгилаш киритамиз. Берилган чизиқлар оиласининг дифференциал тенгламаси бўл-син. У ҳолда
(5)
тенглама изогонал траекторияларнинг дифференциал тенгламасини,
(6)
тенглама эса ортогонал траекторияларнинг дифференциал тенгламасини ифодалайди. (5) ёки (6) тенгламани интеграллаб, изогонал ёки ортого-нал траекториялар оиласини топамиз.
Агар эгри чизиқлар оиласи , қутб координаталар системасида кўринишда берилган бўлиб, шу оиланинг дифференциал тенгламаси бўлса, у ҳолда изогонал траекторияларни топиш учун
(7)
тенгламани интеграллаш керак. Ортогонал траекторияларни топиш учун эса
(8)
тенгламани ечиш керак бўлади.
Берилган чизиқлар оиласини берилган бурчак остида кесиб ўтадиган траекторияларнинг дифференциал тенгламаларини тузинг.
3-мисол. , .
Аввало чизиқлар оиласининг дифференциал тенгламасини ту-замиз:
.
Ортогонал траекторияларнинг дифференциал тенгламасини тузиш қийин эмас:
,
яъни тенглама чизиқлар оиласини бурчак остида кесиб ўтадиган траекторияларнинг дифференциал тенгламасини ифода-лайди.
Do'stlaringiz bilan baham: |
