1 Неравенство Чебышева и её Точность

Г) С.в. Х имеет биномиальное распределение, с параметрами п и р:

P(X=k)=q , q=1-p, k=0,1,2,…,n.

В этом случае МХ=пр, 3=3Тогда как трудно видаеть, что подсчёты для конкретных значений п и р показывают, что вероятность невыполнения „ правило 3“ существенно меньше 1/9.

Д) Пусть с.в. Х распределена нормально с параметрами (a,. Тогда вероятность невыполнения „ правило 3“

P()=1-P(|X-a|<3)=1-2Ф₀ (3)

Имеем Ф₀ (3)0,498865, отсюда

P()1-20,498650,0027,

Те для нормального закона только ничтожная для значений с.в. Х ( меньше 3%) выходят за пределы интервала а±3

Теперь приведем одно из многочисленных применений неравенство Чебышева (1) с её комбинацией методом урезания при довацательстве фундаментальной теоремы А.Я.Хинчина о слабом законе больших чисел сумм независимых одинаково распределеных с.в.

Теорема Хинчина. Пусть М=а, М|? |< X_n -независимые наблюдения над Х, Y_n =n^-1 .Тогда

P(|Y_n-a|≥Ɛ)0 при n

Доказательство. Вначале заметим, что сумма конечного числа бесконечно малых с.в. – бесконечно малая величина. Действительно, пусть _n , _n и _n-три такие величины Тогда, имеем

{|_n + _n + _n |≥Ɛ}{|_n|>}>}{|_n|>}.

Отсюда следует, что при n

P{|_n + _n + _n |≥Ɛ}

Пусть теперь S_n(x)=1, при |x|≤, S_n(x)=0, при |x|> , T_n(x)=0, при |x|<T_n(x)=1, при |x|> Обозначим =, =, a_n =M.

Введем обозначения _n= ( a_n,