1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Критическая точка с координатами является точкой локального экстремума, если . При этом мы имеем точку минимума, если , и точку максимума, если


9. Двойные интегралы. Основные свойства.
Предел интегральных сумм называется двойным интегралом от по области и обозначается
Свойства:
Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

3. Если всюду в области D, то

4. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в области D, имеющей площадь , то

5. Если функция непрерывная в замкнутой области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство

где S площадь области D (теорема о среднем).
6. Если область D разбита на две части и , то



10. Вычисление двойного интеграла.
Предположим, область D выпукла в направлении оси OY, то есть, что граница области D пересекается любой прямой параллельной оси OY либо не более, чем в двух точках, либо по одному отрезку.
Пусть область D расположена между прямыми параллельными оси OY. Эти прямые касаются границы области D или частично совпадают с границей по отрезку.
Участки границы области D, проецирующиеся на интервал , заданы уравнениями соответственно и , . В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла по следующей формуле:

В случае, когда область D не является выпуклой в направлении OY, разобьем область D на подобласти, выпуклые в направлении OY прямыми, параллельными осям координат или будем проецировать область на ось OY и сделаем в повторном интеграле внешний интеграл по переменной y.