11.Замена переменных.
Если переменные в двойном интеграле являются функциями переменных то двойной интеграл от функции по области равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула
12. Тройные интегралы. Основные свойства.
Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от по области B и обозначается В общем случае подынтегральная функция может произвольно менять знак.
Свойства:
1. Тройной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме тройных интегралов от слагаемых функций
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 3.Если всюду в B, то
4. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в трехмерной области B, имеющей объем V, то
5. Если функция непрерывная в трехмерной замкнутой области B, то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство
где V площадь области B (теорема о среднем).
6. Если трехмерная область B разбита на две части и , то
13. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.
Вычисление тройного интеграла, как и вычисление двойного интеграла, сводится к последовательным вычислениям интегралов по отрезкам.
Пусть уравнения поверхностей, ограничивающих тело снизу и сверху (в направлении движения по оси OZ) соответственно, , и . Теперь тройной интеграл можно записать в виде двойного интеграла по области D от интеграла по отрезку с переменными пределами:
Пусть уравнения кривых, ограничивающих область D снизу и сверху (в направлении движения вдоль оси OY) , и Тогда
Do'stlaringiz bilan baham: |
