Q.E.D.
Navbatdagi misol Koshi kriteriysining imkoniyatlarini namoyish qiladi.
2.5.1 - Misol. Quyidagi
n+1
x = x
+ θn , n ∈ N, x
= 1 (2.5.6)
= (− n [√n]1) = (−1) [ ]
(n + 1)2
n
1
rekurrent formula orqali aniqlangan {xn} ketma-ketlikni qaraylik, bu yerda {θn} - elementlari faqat ikki: + 1 yoki − 1 qiymatni qabul qiladigan ketma-ketlik. Masalan, θn yoki θn , bu yerda x simvoli x sonining butun qismini
anglatadi.
{ }
Bunday aniqlangan xn ketma-ketlikning yaqinlashishini isbotlaymiz. Bu ketma- ketlik, umuman aytganda, monoton bo'lmaganligi uchun, biz monoton ketma-ketliklar uchun o'rinli bo'lgan natijalardan foydalana olmaymiz. Shu sababli Koshi kriteriysini qo'llaymiz.
Agar m > n desak, u holda, ravshanki,
x = x
+ θn + θn+1 + · · · + θm−1 .
m n ( n + 1) 2 ( n + 2) 2 m2
Shuning uchun,
1 1 1
| xm − xn| ≤ (n + 1)2 + (n + 2)2 + · · · + m2 . (2.5.7)
Endi quyidagi
1 1 1 1
( n + 1) 2 < n( n + 1) = n − n + 1
munosabatni (2.5.7) ning o'ng tarafidagi har bir hadga qo'llasak,
|x − x
| < 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + 1 − 1
m n
ni olamiz.
n + 1
n + 1
n + 2
m − 1 m
Qavslarni ochib, mos hadlarni qisqartirsak,
1 1
hosil bo'ladi.
| xm − xn| <
n − m
Demak,
|xm − xn| <
1
, m > n. (2.5.8)
n
{ }
Bu tengsizlikdan xn ning Koshi ketma-ketligi ekanligi bevosita kelib chiqadi.
Shunday ekan, bu ketma-ketlik yaqinlashuvchidir.
2.6. Chegaralanmagan ketma-ketliklar
Hozirgacha biz faqat chegaralangan ketma-ketliklarni o'rgandik. Biroq ko'pgina masalalarni yechayotganda chegaralanmagan ketma-ketliklarga ham duch kelamiz. Mantiqan, chegaralanmagan ketma-ketlik - bu chegaralangan bo'lmagan ketma- ketlik bo'lishi kerakligidan quyidagi ta'rifga kelamiz.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun { xn} ketma-ketlikning kamida bitta
xn elementi topilsaki,
| xn| > A (2.6.1)
tengsizlik bajarilsa, bu ketma-ketlik chegaralanmagan deyiladi.
Ravshanki, har qanday ketma-ketlik yoki chegaralangan yoki chegaralanmagan bo'lishi mumkin.
2.6.1 - Misol. xn
hadlarini yozaylik:
= n(−1)n ketma-ketlikni olib, uning bir nechta boshlang'ich
1, 2, 1 , 4, 1 , 6, 1 , ...
3 5 7
Bu ketma-ketlikning chegaralanmaganligi aniq. Shu bilan birga, uning toq nomerli
{ x2n−1} hadlari tashkil qilgan qismiy ketma-ketligi cheksiz kichikdir:
1 , 1 , 1 , 1 , ...
3 5 7
{ }
Esltma. 1.6.1 - Teoremaga asosan, elementlari barcha ratsional sonlardan iborat bo'lgan rn ketma-ketlik mavjud. Boshqacha aytganda, bu ketma-ketlik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
har bir rn - ratsional son,
har bir ratsional son biror rn bilan ustma-ust tushadi,
/ /
agar n = m bo'lsa, rn = rm bo'ladi.
Aniqki, bu ketma-ketlik chegaralanmagan va, qizig'i shundaki, uning limit nuqtalari butun sonlar o'qi R bilan ustma-ust tushadi.
Chegaralanmagan ketma-ketliklar ichida eng ahamiyatlisi cheksiz katta ketma- ketliklardir.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun shunday N = N ( A) nomer topilsaki, barcha n ≥ N larda { xn} ketma-ketlikning hadlari
| xn| > A, n ≥ N (2.6.2) tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlik cheksiz katta deyiladi.
Quyidagi tasdiqqa asosan, cheksiz katta ketma-ketliklarni o'rganishni, ma'lum
ma'noda, cheksiz kichik ketma-ketliklarni o'rganishga olib kelish mukin.
- Te orema. Agar {xn} ketma-ketlik cheksiz katta bo'lsa, biror nomerdan
boshlab
1
xn
ketma-ketlik aniqlangan bo'lib, u cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
Isbot. Shartga ko'ra, {xn1} - cheksiz katta ketma-ketlik bo'lsin. U holda istalgan
ε > 0 uchun (2.6.2) da A =
ε
desak, biror N = N (ε) nomerdan boshlab,
1
baho o'rinli bo'ladi.
| xn| > ε , n ≥ N
Demak, n ≥ N (ε) larda {xn} ketma-ketlik elementlari noldan farqli bo'lib,
1
|xn
| < ε , n ≥ N (2.6.3)
shartni qanoatlantiradi. (2.6.3) tengsizlik esa 1 cheksiz kichik ketma-ketlik
xn
ekanini anglatadi.
Q.E.D.
Teskari tasdiq o'rinli bo'lishi uchun biz ketma-ketlikning elementlari noldan farqli bo'lsin degan tabiiy qo'shimcha shartni talab qilishimiz zarur.
1
- Teorema. Agar {xn} ketma-ketlik cheksiz kichik bo'l ib, b iror nomerdan
boshlab xn /= 0 shart bajarilsa, u holda shu nomerdan boshlab x ketma-ketlik
aniqlangan bo'lib, u cheksiz katta bo'ladi.
Isbot. Shartga ko'ra, { xn} cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lsin. Bundan chiqdi, istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topiladiki, n ≥ N larda
| xn| < ε (2.6.4)
tengsizlik bajariladi.
Yana shartga ko'ra, kerak bo'lsa N nomerni kattaroq olib, biz n ≥ N larda
1
xn /= 0 shart bajariladi deb hisoblashimiz mumkin. Agar A ixtiyoriy avvaldan
berilgan musbat son bo'lsa, (2.6.4) da ε = A deb, n ≥ N = N ( A) lar uchun
1
| xn| < A
tengsizlikni olamiz. Uni quyidagi ko'rinishda qayta yozishimiz mumkin:
1
|xn
| > A, n ≥ N.
Bu tengsizlik esa 1 cheksiz katta ketma-ketlik ekanini anglatadi.
xn
Q.E.D.
Cheksiz katta ketma-ketlikka misol sifatida xn = (−1)n · n ketma-ketlikni, ya'ni
−1, 2, −3, 4, −5, ...
ketma-ketlikni olish mumkin.
E'tibor bering, bu ketma-ketlikning hadlari cheksiz marta ishorasini o'zgartirayapti.
Elemetlari chekli sonda ishorasini o'zgartiradigan cheksiz katta ketma-ketliklar alohida sinfni tashkil qiladi. Bunday ketma-ketliklarni, o'z navbatida, ikki sinfga ajratish mumkin:
birinchi sinfga biror nomerdan boshlab barcha elementlari musbat bo'lgan cheksiz katta ketma-ketliklarni kiritamiz;
ikkinchi sinfga esa, biror nomerdan boshlab barcha elementlari manfiy bo'lgan cheksiz katta ketma-ketliklarni kiritamiz.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun shunday N = N (A) nomer topilsaki,
{xn} ketma-ketlikning elementlari n ≥ N larda
xn > A, n ≥ N (2.6.3)
∞
tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlik + ka intiluvchi deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:
∞
lim xn = + .
n→∞
Bunday ketma-ketlikka eng sodda misol sifatida xn = n ketma-ketlikni olish mumkin.
Ta'rif. Agar istalgan haqiqiy A soni uchun shunday N = N (A) nomer topilsaki,
{xn} ketma-ketlikning elementlari n ≥ N larda
xn < A, n ≥ N (2.6.4)
−∞
tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlik ka intiluvchi deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi:
−∞
lim xn = .
n→∞
−
Bunday ketma-ketlikka eng sodda misol sifatida xn = n ketma-ketlikni olish mumkin.
Yuqoridagi ta'riflar qismiy limit tushunchasini kengaytirib, ular safiga +∞ va
−∞ simvollarni qo'shishga imkon beradi.
Ta'rif. Agar {xn} ketma-ketlikdan +∞ ka intiluvchi, ya'ni
∞k
lim xn = +
k→∞
{ }
bo'lgan xnk qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, bu ketma-ketlik uchun
∞
+ yuqori limit deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi
lim xn = + .
∞
n→∞
— ∞
Masalan, xn = ( 1)nn ketma-ketlik uchun + yuqori limit bo'ladi.
Ravshanki, ketma-ketlikning yuqori limiti faqat va faqat u yuqoridan chegaralanmaganda
+∞ ga teng bo'ladi.
Ta'rif. Agar {xn} ketma-ketlikdan −∞ ka intiluvchi, ya'ni
−∞k
lim xn =
k→∞
−∞
{ }
bo'lgan xnk qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, bu ketma-ketlik uchun quyi limit deyiladi.
Bunda quyidagicha yoziladi
−∞
lim xn = .
n→∞
— −∞
Masalan, xn = ( 1)nn ketma-ketlik uchun quyi limit bo'ladi.
−∞
Ravshanki, ketma-ketlikning quyi limiti faqat va faqat u quyidan chegaralanmaganda ga teng bo'ladi.
Yuqorida keltirilgan ta'riflarga asoslanib, biz istalgan sonli ketma-ketlik uchun yuqori va quyi limitlar mavjud deyishimiz mumkin. Bu limitlar orasidagi munosabatni formal ravishda quyidagicha ifodalasa bo'ladi:
−∞ ≤ lim xn ≤ lim xn ≤ +∞.
n→∞
n→∞
{ }
Eslatma. Aniqki, agar xn ketma-ketlik chegaralangan bo'lib uzoqlashsa, yuqoridagi munosabatda barcha qat'iy bo'lmagan tengsizliklar belgisi qat'iy tengsizliklar belgisiga o'zgaradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
