1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

5. 
   Yuqori va quyi limit xossalarini o'rganishga o'tamiz. Avval quyidagi sodda tasdiqdan boshlaymiz.
   

3. 
   - Tasdiq. Har qanday chegaralangan {x_n} ketma-ketlik uchun quyidagi:
   

lim (−x_n) = − lim x_n, lim (−x_n) = − lim x_n (2.4.3)

n→∞
n→∞
n→∞
n→∞

tengliklar o'rinli.

{− }
Isbot. Ravshanki, {x_n} va {−x_n} ketma-ketliklar bir xil sondagi limit nuqtalarga ega. Shuningdek, agar a nuqta {x_n} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'lsa, −a nuqta x_n ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'ladi. Bundan ko'rinadiki, (2.4.3) tengliklar
o'rinli ekan.

Q.E.D.

Yuqori va quyi limitlar bilan limitlarga qaraganda ehtiyotlik bilan munosabatda bo'lish zarur. Masalan, (2.1.17) tenglikka o'xshash tenglik yuqori limitlar uchun o'rinli emas. Haqiqatan, x_n = (−1)ⁿ va y_n = (−1)ⁿ⁺¹ deylik. U holda
lim x_n = lim y_n = 1,

n→∞
biroq x_n + y_n = 0 va shuning uchun,
n→∞

Demak, bu misolda

lim (x_n + y_n) = 0.

n→∞

lim (x_n + y_n) < lim x_n + lim y_n.

n→∞
n→∞
n→∞

Umumiy holda ketma-ketliklar yig'indisining yuqori va quyi limitlari uchun quyidagi munosabatlar o'rinli ekanini ko'rsatish oson:
lim (x_n + y_n) ≤ lim x_n + lim y_n,

n→∞
va
n→∞
n→∞

lim (x_n + y_n) ≥ lim x_n + lim y_n.

n→∞
n→∞
n→∞

Keyinchalik bizga quyidagi tasdiq muhim bo'ladi.

3. 
   - Tasdiq. Agar ixtiyoriy ikki chegaralangan {x_n} va {y_n} ketma-ketliklar
   

x_n ≤ y_n, n = 1, 2, 3... (2.4.4)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda
lim x_n ≤ lim y_n, lim x_n ≤ lim y_n (2.4.5)

n→∞
tengsizliklar bajariladi.
n→∞
n→∞
n→∞

Boshqacha aytganda, agar ikki chegaralangan ketma-ketlik tengsizlik belgisi bilan bog'langan bo'lsa, yuqori va quyi limitlar uchun ham bu tengsizliklar saqlanadi.

{ } { }
Isbot. 1) Faraz qilaylik, a - x_n ketma-ketlikning yuqori limiti va b - y_n

{ }
ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lsin. U holda istalgan ε > 0 uchun b + ε nuqtadan o'ngda y_n ketma-ketlikning oshib borsa chekli sondagi elementlari yotadi. Haqiqatan, aks holda Bo'lsano-Veyershtrass teoremasiga ko'ra, b sonidan katta qismiy limit mavjud bo'lar edi.
Demak, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik bajariladi:
y_n ≤ b + ε.
Shunday ekan, (2.4.4) shartga ko'ra, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik ham bajariladi:
x_n ≤ b + ε.

{ }
Demak, bu tengsizlikni x_n ketma-ketlikning barcha limit nuqtalari ham qanoatlantiradi va, xususan, uning yuqori limiti ham qanoatlantiradi, ya'ni
a ≤ b + ε.

≤
Bundan, ε > 0 ning ixtiyoriyligini hisobga olsak, a b tengsizlik kelib chiqadi.
2) Endi quyi limitlar uchun talab qilinyotgan munosabat 2.4.3 - Tasdiqdan bevosita kelib chiqadi:
— lim y_n = lim (−y_n) ≤ lim (−x_n) = − lim x_n,

n→∞
n→∞
n→∞
n→∞

ya'ni (2.4.5) ning o'ng tarafidagi tengsizlik ham o'rinli ekan.

Q.E.D.

6. 
   Yuqoridagi tasdiqning tadbiqi sifatida quyidagi muhim misolni keltiramiz.
   

2.4.2 - Misol. Quyidagi ketma-ketlikni qaraymiz:

e_n =

1 +

₁ n
. (2.4.6)

n

Bu ketma-ketlikning yaqinlashishini va u 2.2.2 - Misolda o'rganilgan quyidagi

Σ
n

_{s =} 1
ⁿ k!
k=0
(2.4.7)

ketma-ketlik bilan bitta limitga ega ekanini isbotlaymiz.
Ma'lumki, N'yuton binomi formulasi quyidagi

^{Σ n!}a b a b
n
_{( + )}n ₌ n n−k _k=0 k!(n − k)!

1

ko'rinishga ega edi. Agar bu formulada a =

n
n

va b = 1 desak,

tenglik hosil bo'ladi.

e_n =

1 + ¹ =

n
n

kΣ=0
n! 1
k!(n − k)! n^k

Bundan n! = (n − k)! · (n − k + 1)(n − k + 2)...(n − 1)n tenglikni qo'llab,

n
^Σ 1

_{1 2}
k − 1

e_n =

munosabatni olamiz.

k!
k=0
1 − _n 1 − _n

· · · 1 − _n

(2.4.8)

1. 
   (2.4.7) va (2.4.8) tengliklardan
   

e_n ≤ s_n, n = 1, 2, 3... (2.4.9)
kelib chiqadi.

2. 
   
   · · ·
   
   1 −
   
   ≥
   Endi istalgan m nomerni tayinlab, (2.4.8) yig'indida hadlarini sonini m ta had qolguncha kamaytiramiz. U holda istalgan n > m uchun (2.4.8) dan
   

m

1 − _n

Σ

m


e_n ≥
^Σ 1

_{1 2}

k − 1

1 − _n
1
≥ k=0 ^k!

13. 
    ₁ m−1
    

−

1 −
_n ≥
^{m m} 1

_Σm
^{1 −} n k!
k=0

tengsizlikka ega bo'lamiz.
Demak,

n

n

m
e ≥ 1 − ^m m s , n > m. (2.4.10)

3. 
   
   { } ≤
   Biz 2.2.2 - Misolda s_n ketma-ketlikning e 3 soniga yaqinlashishini ko'rsatgan edik. Bundan, albatta, ketma-ketlikning yuqori limiti ham e soniga tengligi kelib chiqadi. Shunday ekan, 2.4.4 - Tasdiqni qo'llab, (2.4.9) dan
   

lim e_n ≤ lim s_n = e (2.4.11)

munosabatni olamiz.
n→∞
n→∞

Ravshanki, ixtiyoriy tayinlangan m uchun (2.4.10) ning o'ng tarafi n → ∞ da

s_m ga yaqinlashadi. Shuning uchun, yana 2.4.4 - Tasdiqqa ko'ra, (2.4.10) dan

≥
lim e_n s_m
n→∞
kelib chiqadi, va bundan, m → ∞ da

≥
lim e_n e (2.4.12)
n→∞
tengsizlik hosil bo'ladi.
Nihoyat,(2.4.11) va (2.4.12) munosabatlarni taqqoslab,

lim e_n ≤ e ≤ lim e_n (2.4.13)

tengsizliklarni olamiz.

n→∞
n→∞

Albatta, yuqori limit quyi limitdan kichik bo'la olmaydi. Demak, (2.4.13) dan ikkala qismiy limitlar tengligi kelib chiqadi, ya'ni 2.4.3 - Teoremaga ko'ra, e_n ketma- ketlik yaqinlashar va uning limiti e soni bo'lar ekan.

2.5. Koshi kriteriysi

1. 
   Yuqorida qayd qilganimizdek, berilgan ketma-ketlikning yaqinlashish yoki yaqinlshmasligini aniqlash ketma-ketliklar nazariyasining eng muhim masalalardan biridir. Bu masalaning qanchalik murakkabligini ko'z oldimizga keltirish maqsadida quyidagi ikki savolga javob berishga urinib ko'raylik:
   

1. 
   {x_n} ketma-ketlik berilgan a soniga yaqinlashadimi?
   
2. 
   
   { }
   x_n ketma-ketlik yaqinlashadimi?
   

Bir qarashda, bu ikki savol bir-biridan deyarli farq qilmaydi, biroq ular orasidagi farq javob qidirishni boshlashimiz bilan ko'zga yaqqol tashlanadi.

{ − }
Birinchi savolga javob berish uchun, x_n ketma-ketlikdan berilgan a sonni ayirib, x_n a ketma-ketlikning nolga intilishini tekshirishimiz kerak. Agar nolga intilsa, savolga javor ijobiy, bordi-yu intilmasa, jovob salbiy bo'ladi.

{ }

{ }

{ − }
Ikkinchi savolga javob berish uchun esa, har bir haqiqiy a sonni olib, x_n a ketma-ketlikni nolga intilishini tekshirishimiz kerak. Agar u nolga yaqinlashmasa, haqiqiy sonlarni tanlashni toki x_n ketma-ketlik yaqinlashadigan sonni topgunga qadar davom ettirish kerak. Bordi-yu, barcha haqiqiy sonlarni tekshirib ko'rganimizda ham x_n ketma-ketlik yaqinlashadigan son topilmasa, bu ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo'ladi.
Albatta, hech kim bu usulda ketma-ketlik yaqinlashishini tekshirmaydi. Buning sababi shundaki, frantsuz matematigi Ogyusten Koshi ketma-ketlikning limiti bo'lishi mumkin bo'lgan sonni bilmasdan turib, ketma-ketlikning yaqinlashishini aniqlash usulini topishga muyassar bo'lgan. Gap shundaki, har qanday yaqinlashuvchi ketma- ketlikning hadlari zichlashishi zarur, ya'ni uning elementlari bir-biri atrofida to'planishi kerak. Qizig'i shundaki, bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli ekan, ya'ni agar ketma-ketlik hadlari zichlashsa , u yaqinlashar ekan.
Ilmiy adabiyotda biror hodisa ro'y berishining zaruriy va yetarli alomati kriteriy (yunoncha kriterion - qat'iy qaror degani) deyiladi. Shuning uchun, O.Koshi topgan yaqinlashish alomatini kriteriy ham deb atashadi.

Albatta, ketma-ketlikning yaqinlashishini ta'minlaydigan bir qancha shartlar mavjud. Bulardan biri, yuqorida ko'rsatilganidek, monotonlik va chegaralanganlik shartidir. Ammo, buday shartlar zaruriy bo'lmasdan, faqat yetarlidir, ya'ni ular kriteriy bo'la olmaydi.

2. 
   Koshi kriteriysini keltirishdan avval, Koshi ketma-ketligi tushunchasini kiritamiz. Ta'rif. Agar istalgan ε > 0 olganda ham shunday nomer N = N (ε) topilsaki,
   

barcha n ≥ N va m ≥ N lar uchun
|x_n − x_m| < ε, n ≥ N, m ≥ N (2.5.1) tengsizlik bajarilsa, {x_n} ketma-ketlik Koshi ketma-ketligi deb ataladi.
Eslatma. Matematik adabiyotda Koshi ketma-ketligi ba'zan fundamental ketma-
ketlik ham deyiladi.

1. 
   - Tasdiq. Har qanday Koshi ketma-ketligi chegaralangandir.
   

{ }
Isbot. Faraz qilaylik, x_n - Koshi ketma-ketligi bo'lsin. U holda istalgan ε >
0 olinganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki, u uchun (2.5.1) shart
bajariladi. Agar bu shartda m = N desak, n ≥ N lar uchun
|x_n| ≤ |x_N | + ε, n ≥ N (2.5.2)
tengsizlikni olamiz.
Demak, agar
M = max{ |x₁|, |x₂|, ..., |x_N−1|, |x_N | + ε }
deb belgilasak, barcha n ∈ N nomerlarda quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi:
|x_n| ≤ M, n ∈ N.
Bu esa {x_n} ketma-ketligining chegaralanganligini anglatadi. Q.E.D.

2. 
   
   { }
   - Tasdiq. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik Koshi ketma-ketligidir. Isbot. Shartga ko'ra, x_n yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo'lib, a soni uning limiti bo'lsin. U holda istalgan ε > 0 olinganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki,
   

u uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi.
|x_n − a| < ε, n ≥ N (2.5.3)

Shuning uchun, agar qandaydir boshqa nomer m ham m ≥ N shartni qanoatlantirsa,
|x_m − a| < ε, m ≥ N (2.5.4)
tengsizlik bajariladi.
(2.5.3) va (2.5.4) tengsizliklardan
|x_n − x_m| < 2ε, n ≥ N

{ }
kelib chiqadi, va demak, ε > 0 ning ixtiyoriyligiga ko'ra, x_n - Koshi ketma-ketligi ekan.