1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

Bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli.

2. 
   - Tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning limit nuqtasi shu ketma-ketlikning qismiy limiti bo'ladi.
   

Isbot. Faraz qilaylik, a nuqta {x_n} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'lsin, ya'ni

yotsin.
a nuqtaning istalgan ε-atrofida {x_n} ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari

{ }

2

3

4

n

n
Musbat ε ga ketma-ket 1, ¹ , ¹ , ¹ , ... qiymatlarni berib, shunday a − ¹ , a + ¹
intervallarni olamizki, bu intervallarning har birida x_n ketma-ketlikning cheksiz

Birinchi (a − 1, a + 1) interva lda ketma-ketlikning k₁ nomerli biror elementini
ko'p elementlari yotadi.

2 2 _{1 1} 3 3

{ }

va hokazo elemetlarni tanlaymiz. Natijada shunday x_kn qismiy ketma-ketlik

tanlaymiz, ikkinchi

a − ¹ , a + ¹

intervalda k₂ > k₁ nomerli, uchinchi

a − ¹ , a + ¹

intervalda k₃ > k₂ nomerli, ..., n- interval

a − _n , a + _n

da k_n > k_n−1 nomerli
olamizki,
x ∈ a − ¹ , a + ¹

bo'ladi.
Demak,

^kn n n

1

|x_kn − a| < _n,

{ } { }
ya'ni x_kn ketma-ketlik a songa yaqinlashadi. Bu esa, o'z navbatida, a soni x_n
ketma-ketlikning qismiy limiti ekanini anglatadi.

Q.E.D.

3. 
   Umuman aytganda, har qanday ketma-ketlikda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin, ammo ularning ichida eng kattasi va eng kichigi ayniqsa katta ahamiyatga egadir.
   

Ta'rif. Ketma-ketlikning eng katta qismiy limiti bu ketma-ketlikning yuqori
limiti deyiladi.
Agar {x_n} ketma-ketlikning yuqori limitini a desak, u quyidagi simvol
a = lim x_n (2.4.1)
n→∞

orqali belgilanadi.

Xuddi shunga o'xshash ketma-ketlikning quyi limiti aniqlanadi.
Ta'rif. Ketma-ketlikning eng kichik qismiy limiti bu ketma-ketlikning quyi limiti deyiladi.
Agar {x_n} ketma-ketlikning quyi limitini a desak, u quyidagi simvol
a = lim x_n (2.4.2)
n→∞
orqali belgilanadi.

−

{ − }
Yuqorida, ikkita qismiy limitga ega bo'lgan ketma-ketlikka misol sifatida, ( 1)ⁿ ketma-ketlik keltirilgan edi. Bu misolda qismiy limitlar 1 va 1 ga teng. Turgan gap, bu holda
lim x_n = 1, lim x_n = −1.

n→∞
n→∞

Albatta, o'z-o'zidan quyidagi savol tug'uladi: har qanday ketma-ketlikda ham limit nuqtalar bormi? Agar ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa, bu savolga javob ijobiy bo'lar ekan. Bu natija, bir-biridan bog'liqsiz ravishda, chex matematigi B.Bol'sano va nemis matematigi K.Veyershtrass tomonlaridan isbotlangan. Aslida, biz bu yerda bundanda umumiyroq navbatdagi tasdiqni isbotlaymiz. Shuni aytish lozimki, bordiyu ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo'lsa, uning yuqori va quyi limitlari o'zaro teng bo'lib, ana shu nuqtadan iborat bo'ladi.

1. 
   - Teorema. Har qanday chegaralangan ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga
   

ega.

{ }
Isbot. Shartga ko'ra, x_n chegaralangan ketma-ketlik bo'lsin deylik, ya'ni shunday
A va B o'zgarmaslar mavjudki, ular uchun
A ≤ x_n ≤ B
munosabat o'rinli.

{ }
Bu tengsizliklar x_n ketma-ketlikning barcha elementlari [A, B] kesmada yotishini anglatadi.

Avval biz [A, B] kesmani
A + B
₂ nuqta orqali ikkita teng kesmalarga ajratamiz.

Bu ikki kesmalardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olganini
[a₁, b₁] simvol orqali belgilaymiz. Bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementini o'z ichiga olsa, [a₁, b₁] sifatida bu kesmalardan o'ng tarafdagisini olamiz.
So'ngra, tanlangan [a₁, b₁] kesmani ikkita teng kesmaga bo'lamiz va [a₂, b₂] simvoli orqali ulardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olganini belgilaymiz. Yana, bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olsa, [a₂, b₂] sifatida bu kesmalardan o'ng tarafdagisini olamiz.
Bu jarayonni davom ettirib, biz shunday ichma-ich joylashgan kesmalar ketma-

ketligini olamizki, n- qadamda qurilgan [a_n