1. Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar

Eslatma. Tushunarliki, har bir cheksiz kichik ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng.

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega

1.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagonadir.

2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan.

Eslatma. Chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lmasligi mumkin. Masalan, ketma-ketlik, chegaralangan, lekin limitga ega emas.

3. va sonli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda va limitlarga ega bo’lsa, ularning algebraik yig’indisi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limitga ega bo’ladi.

4. va sonli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda va limitlarga ega bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham yaqinlashuvchi bo’lib, limiti ga teng bo’ladi.

5. va sonli ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, mos ravishda va limitlarga ega bo’lsa, ularning nisbati ham maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti ga teng bo’ladi.

Bu xossalarni, ketma-ketlikning limiti va cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalaridan foydalanib isbotlash mumkin. Masalan, 4-xossani isbotlaylik. Ketma-ketliklar yaqilashuvchi bo’lganligi uchun

ko’rinishda ifodalanadi, bunda lar cheksiz kichik ketma-ketliklar. Bu holda

bo’ladi. ifoda cheksiz kichik ketma-ketlikning xossalariga asosan cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Demak ham cheksiz kichikdir, ya'ni

bo’ladi.

1-misol. Ushbu limitni hisoblang.

Yechish. surat ham maxraj ham cheksiz katta bo’lib, nisbatning limiti haqidagi xossani qullash mumkin emas, chunki bu xossada surat va maxrajning limiti mavjud bo’lishi kerak edi. Shuning uchun, bu ketma-ketliklarni ga bo’lib, shaklini o’zgartiramiz hamda limitlarning xossalarini qo’llab, ushbuni hosil qilamiz:

5. Funksiya haqida tushuncha va uning ta’rifi.

Tabiatda ikki xil miqdorlar uchraydi, o’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar. Bizga bir necha to’rtburchak berilgan bo’lsin. Ularda quyidagi miqdorlar qatnashadi. Tomonlarning uzunliklari, burchaklarning kattaliklari, yuzalari va perimetrlari. Bu miqdorlardan baozilari o’zgarmaydi, baozilari o’zgarib turadi. Masalan, qaralayotgan hamma to’rtburchaklarda burchaklarining to’g’riligi, ularning soni to’rtta bo’lishligi va yig’indisi 360 ga tengligi o’zgarmaydi. Tomonlarining uzunliklari, perimetrlari, yuzlari esa o’zgarib turadi. Xuddi shuningdek, bir necha doira chizsak, ularda aylana uzunliklarining o’z diametrlariga nisbati hammasida bir xil bo’lib,  ga teng, lekin ularning radiuslari, aylana uzunliklari, doira yuzlari o’zgarib turadi.

Ma’lum sharoitda faqat bir xil son qiymatlariga ega bo’lgan miqdorlar o’zgarmas miqdorlar deyiladi. Ma’lum sharoitda har xil son qiymatlariga ega bo’lgan miqdorlar o’zgaruvchi miqdorlar dyiladi. Odatda o’zgarmas miqdorlarni a, b, c, d, ...., o’zgaruvchi miqdorlarni x, y, z, u, v, . . . harflari bilan belgilaydilar.

Matematikada ko’pincha o’zaro bir-biriga bog’liq ravishda o’zgaradigan miqdorlar bilan ish ko’riladi. Yuqoridagi misollarimizda doiraning yuzi uning radiusining o’zgarishiga qarab o’zgaradi, ya'ni doiraning radiusi ortsa, yuzi ham ortadi, kamaysa kamayadi. Xuddi shuningdek, kvadratning tomoni bilan yuzi orasida ham shunday bog’lanish bor. Kvadratning yuzi uning tomoniga bog’liq ravishda o’zgaradi.