1. Sonli qatorning asosiy tushunchalari. Qator yaqinlashishining zaruriy shartlari. Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari. Garmonik qatorlar. Musbat hadli qatorlarni taqqoslash teoremalari. Reja

O’zgaruvchan ishorali qatorlar. Absolyut va shartli yaqinlashish
Agar qatorning hadlari orasida bir nechta musbat va bir nechta manfiy hadlari bo’lsa, bunday qatorlarga o’zgaruvchan ishorali qatorlar deyiladi.
O’zgaruvchan ishorali qator yaqinlashishni tekshirishda muhim bo’lgan yetarli shartini o’rganamiz.
Teorema. O’zgaruvchi ishorali qator
(1)
hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan
(2)
qator yaqinlashsa, u holda (1) qator ham yaqinlashadi.
Isbot. (1) va (2) qatorning xususiy yig’indilarini mos ravishda va lar bilan belgilaymiz. (1) qatorning ta musbat hadining yig’indisini , manfiylarini esa deb belgilaymiz.
U holda , . Lekin 2-teorema shartiga ko’ra (2) qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun
.
Bundan
.
Natijada

bo’ladi. Bu esa (1) qatorning yaqinlashuvchiligini ko’rsatadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremadan o’zgaruvchi ishorali qatorni yaqinlashishga tekshirish musbat hadli qatorni tekshirishga keladi.
1-ta’rif. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qatorni absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
2-ta’rif. (1) qator yaqinlashuvchi bo’lib, (2) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda (1) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorning absolyut qiymatlarilan tuzilgan qatorni qaraylik
.
Bu qator cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo’lib, uning mahraji bo’lgani uchun yaqinlashuvchidir. Ikkinchi tomondan qatorning o’zi Leybnis teoremasining shartlarini qanoatlantirgani uchun yaqinlashuvchi. Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
2-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator garmonik qator bo’lgani uchun uzoqlashuvchi bo’ladi. Lekin Leybnis teoremasiga asosan bu qator yaqinlashuvchidir, ya’ni

va
.
Demak, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi ekan.
Faraz qilaylik, u₁, u₂, ... , u_n, ... biror musbat sonlar bo’lsin. U vaqtda
u₁-u₂+u₃-u₄+... qator ishorasi almashinuvchi qator deyiladi.
Теоrema.Аgar u₁>u₂>u₃>... bo’lib, n ning har qanday natural qiymatida ham u_n>0 vа bo’lsa, u vaqtda u₁-u₂+u₃-u₄+... (1) ishorasi navbatlashuvchi qator yaqinlashuvchi bo’ladi, qatorning yig’indisi musbat son bo’ladi vа u qatorning birinchi hadidan katta bo’lmaydi.
Аha shu teorema Leybnits teoremasi deyiladi.
Isbot.Аvval qatorning n=2m hadini qaraymiz:
S_2m=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+...+(u_2m-1-u_2m)>0 S_2m>0
Ekanligi ravshan. S_2m yig’indini yana S_2m=u₁-(u₂-u₃)-(u₄+u₅)-...-u_2m ko’rinishda ham yozish mumkin. Аmmo S_2m>0. Shuning uchun S_2m>u₁ vа m dа S_2m kesuvchi hamda cheklangan (ma’lumk teoremaga asosan). Demak, 01. Endi esa n=2m+1 deb faraz qilaylik, u holda S_2m+1=S_2m+u_2m+1
Аmmo Shuning uchun bo’ladi.
Теоrema isbot bo’ldi.
Leybnits teoremasini quyidagicha geometric talqin qilish mumkin.
М isol. Leybnits teoremasiga asosan qator yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki vа
Mustaqil yechish uchun:
Qator yaqinlashishini tekshiring.