Mavzu: Funktsiyalar ustida arifmetik amallar

MAVZU: Funktsiyalar ustida arifmetik amallar.

sana	05.10.2022
sinfi	10

Reja:

1.Uzluksiz funksiyalarning xossalari.

2.Funksiyaning uzluksizligi.

3.Geyne ta’rifi.

Uzluksiz funksiyalarning xossalari

Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari
1-teorema (uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar). va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda , va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun ular bu nuqtada va limitlarga ega. U holda funksiyaning limiti haqidagi teoremalarga ko‘ra , va funksiyalarning nuqtadagi limitlari mavjud va ular mos ravishda va ga teng bo‘ladi. Bu qiymatlar va funksiyalarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining nuqtadagi qiymatlaridan iborat. U holda 1-ta’rifga ko‘ra , va funksiyalar nuqtada uzluksiz.
Bu teorema chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi va ko‘paytmasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
2-teorema (murakkab funksiyaning uzluksizligi). funksiya nuqtada uzluksiz, funksiya esa nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. funksiya nuqtada uzluksizligidan , , ya’ni da bo‘ladi. Shu sababli
funksiyaning uzluksiligidan
kelib chiqadi. Bu murakab funksiyaning nuqtada uzluksizligini bildiradi.
2-teorema yordamida (3.5.2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Agar funksiya nuqtada limitga ega bo‘lib, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya uchun (3.5.5) bo‘ladi.
Bu tenglik uzluksiz funksiya belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifodalaydi va funksiyaning limitini topishda foydalaniladi.
Misol limitni topamiz: funksiya va funksiyalarning murakkab funksiyasi. va funksiya nuqtada uzluksiz.
U holda (3.5.5) tenglikka ko‘ra Butun sonlar o‘qida aniqlangan funksiyani qaraymiz. da bo‘ladi (3.41 band, 1-natija). Demak, o‘zgarmas funksiya butun sonlar o‘qida, ya’ni o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz. funksiya ham butun sonlar o‘qida uzluksiz, chunki .
Bundan 1-teoremaga ko‘ra funksiya ko‘paytmalaridan iborat darajali funksiya hamda o‘zgarmas va darajali funksiyalardan arifmetik amallar orqali hosil qilingan ko‘phad (butun-ratsional funksiya) istalgan nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va limitlar haqidagi teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash mumkin.
Ikki funksiya yigʻindisi
1-qism: Ikki funksiyani qoʻshish orqali yangi funksiya hosil qilish
{f(x)=x+1}f(x)=x+1f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 va {g(x)=2x}g(x)=2xg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x yigʻindisidan yangi funksiya hosil qiling.
f(x)+g(x) =(x+1)+(2x)=x+1+2x=3x+1
Yangi funksiyani hhh deylik. Shunda bizda hosil boʻladi:
{h(x)}={f(x)}+{g(x)}{=3x+1}h(x)=f(x)+g(x)=3x+1
Funksiyaning uzluksizligi
Fаrаz qilаylik, bizgа Х sоhаdа аniqlаngаn y=f(x) funksiya bеrilgаn bo`lsin. Аgаr y=f(x) funksiyaning аrgumеnti х=х0 nuqtаdа аniqlаngаn bo`lib, ungа birоr Dх оrttirmа bеrsаk, u hоldа shu nuqtаgа mоs kеlgаn funksiyaning оrttirmаsi hаm y+Dy=f(x0+Dx) bo`ladi. Bizgа bеrilgаn funksiyani x=x0 nuqtаdаgi Dx оrttirmаsigа mоs kеlgаn Dy оrttirmаni tоpаdigаn bo`lsak,
Dy=f(x0+Dx)-f(x) bo`ladi.
Tа’rif. y=f(x) funksiyaning аrgumеnti x®x0 dа funksiyaning o`zi shu nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x)®f(x0) bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiyasi Х to`plаmni x=x0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi vа limit quyidagicha yozilаdi. f(x)=f(x0)
Tа’rif. y=f(x) funksiyaning аrgumеnti x®x0 dа funksiyaning o`zi shu nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x)®f(x0) bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiyasi Х to`plаmni x=x0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi vа limit quyidagicha yozilаdi. f(x)=f(x0)
Tа’rifdаn ko`rinаdiki, y=f(x) funksiya birоr x=x0 dа uzluksiz bo`lishi uchun quyidаgi shаrtlаr bаjаrilishi kеrаk:
1. y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа аniqlаngаn
2. y=f(x) funksiyaning x=x0 nuqtаdаgi limit qiymаti mаvjud f(x)
3. y=f(x) funksiyaning x=x0 dаgi limit qiymаti uning shu nuqtаdаgi хususiy qiymаtigа tеng , ya’ni f(x)=f(x0)
Yuqоridа аytib o`tilgаn uchtа shаrt bаjаrilgаndа y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа uzluksiz funksiya dеyilаdi, аks hоldа esа y=f(x) funksiya x=x0 nuqtаdа uzulishgа egа dеyilаdi.
Misоl. y=2x+1 funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin
Yechish. (2x+1)=5; f(2)=5
Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi ta’rifi). "e > 0 son uchun shunday d = d(e)>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x0|
1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.
Yechish. "e > 0 son olib, bu e songa ko`ra d >0 soni d = 4e bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5| bu esa qurilayotgan funksiyaning x0=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x0 ga intiluvchi har qanday {xn} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(xn)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x0) ga intilsa, f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x-x0 ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x0) esa funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda Dx va Dy (Df(x0)) kabi belgilanadi, ya’ni: Dx=x-x0, Dy=Df(x0)=f(x)-f(x0).
Demak, x=x0+Dx, Dy=f(x0+Dx)-f(x) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.