1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo’yiladigan koshi masalasini yechish usuli

1-Misol. 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Bir nechta xususiy yechimlarni yozing.
Yechish. Bu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: .
Bu sistemani ko’rinishda yozib uning integrallarini topamiz:
yoki . U holda teoremaga asosan berilgan tenglamaning umumiy yechimi uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya orqali ko’rinishda bo’ladi. Umumiy yechimning bu ko’rinishidan berilgan tenglamaning bir nechta xususiy yechimlarini yozamiz:

1. 
   2) 3) .
   

2-Misol. 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi ko’rinishdagi bitta o’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Uni shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada berilgan tenglamaning yoki xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy yechimi funksiyadan iborat bo’ladi. Bunda uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya.
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo’shimcha shart qo’yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo’ladi degan savol muhim fizik va matematik ahamiyatga ega hisoblanadi.
3-Ta’rif (Koshi masalasi). (3) tenglamaning qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi va (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bunda biror haqiqiy son, esa berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
Endi biz ta’riflangan Koshi masalasining yechimini topish usuli bilan tanishamiz. Bu usul odatda xarakteristikalar usuli deb yuritiladi. Yuqorida isbotlangan teoremaga asosan (3) tenglamaning umumiy yechimi (5) ning
integrallari orqali ko’rinishda tasvirlanadi. Bunda qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Ushbu cheksiz ko’p yechimlar orasidan (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimni tanlab olamiz. Boshqacha aytganda umumiy yechimdan
(10)
Shartni qanoatlantiradigan yechimni topamiz. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
(11) U holda (10) shart quyidagicha ko’rinishni oladi:
. (12)
(3) tenglamda funksiya noldan farqli deb qaradik, ya’ni shunday nuqta topilib tengsizlik bajariladi. U holda (11) sistemani sistemaning biror atrofida larga nisbatan yechish mumkin:
. U holda qo’yilgan Koshi masalasining yechimi (12) ga asosan quyidagicha yoziladi:
.
Koshi masalasining, ya’ni (3) tenglamaning (9) shartni qanoatlantiruvchi yechimining yagonaligini ifodalovhi bu tasdiq odatda Koshi-Kovalevskaya teoremasi deb yuritiladi.
3-Misol. 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Biz 1-misolda bu tenglamaning umumiy yechimi
Ko’rinishda ekanligini topgan edik. Bunda qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya. Endi bu yechimdan berilgan shartni qanoatlantiradigan xususiy yechimni ajratib olamiz. Buning uchin topilgan umumiy yechimda deb, uni ga tenglashtiramiz: .
Agar yoki desak yuqoridagi shartdan yoki
ekanligini olamiz. Topligan umumiy yechim bo’lganligi uchun qo’yilgan Koshi masalasi yechimi
funksiyadan iborat bo’ladi.
4-Misol. 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bunda - biror haqiqiy son, esa berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
Yechish. Dastlab bu differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Shu maqsadda xuddi 1- va 2-misollardagi kabi yo’l tutamiz, yani berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasini tuzamiz: . Bu sistemani ko’rinishda yozib, ularni integrallash bilan berilgan tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasini topamiz:
yoki . U holda berilgan tenglamaning umumiy yechimi (13) ko’rinishda bo’ladi. Bunda qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya.
Endi umumiy yechimdan , ya’ni (14)
Shartni qanoatlantiradigan yechimni ajratib olamiz. Buning uchun belgilashlar kiritib, bu sistemani va larga nisbatan yechamiz: . U holda (14) shart . Ushbu ifodadan ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglik va umumiy yechimning (13) tasviriga asosan qo’yilgan Koshi masalasining yechimi
funksiyadan iborat bo’ladi.
Shunday qilib biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar, ularning turli sinflari, umumiy yechimini topishning xarakteristikalar usuli va ular orqali qo’yilgan Koshi masalasining yechimini topish usuli bilan tanishdik, ya’ni 1-tartibli xusuiy hosilali chiziqli differensial tenglama qo’yilgan bitta qo’shimcha shart da yagona yechimga ega bo’lar ekan.

3.